物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

三个点电荷位于一条直线上：左边为 +8 µC，右边相距 20 cm 处为 +6 µC，两者之间距左边电荷 12 cm 处为 +8 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +8 µCq_R = +6 µCq_M = +8 µCr_L = 12 cmr_R = 8 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 6 µC 位于直角顶点，q₁ = 6 µC 沿一条直角边距它 4 cm，q₂ = 5 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 6 µCq₂ = 5 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 36 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 15 VR = 50 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_L = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 13 V？求 t。

V_s = 20 VR = 10 kΩC = 68 µFv_C(0) = 6 V

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一个 25 匝线圈的面积为 100 cm²。垂直于线圈的均匀磁场在 100 ms 内从 0.2 T 均匀增大到 0.5 T。求平均感应电动势 ε。

N = 25A = 100 cm²B: 0.2 T → 0.5 TΔt = 100 ms

ε = mV

8.磁场与电磁感应困难

一个 80 mH 的电感中，电流在 20 ms 内从 2 A 均匀变化到 3.5 A。求自感电动势的大小 ε。

L = 80 mH2 A → 3.5 AΔt = 20 ms

ε = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 100 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路的 R = 20 Ω，L = 5 mH，C = 0.47 µF。求其谐振时的品质因数 Q。

R = 20 ΩL = 5 mHC = 0.47 µF

Q =

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 27.47 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

F_L = +k·8·8 × 10⁻¹²/0.12² = 39.96 N

F_R = −k·6·8 × 10⁻¹²/0.08² = −67.42 N

合力

F = 39.96 + (−67.42) = −27.47 N → |F| = 27.47 N

答案

F = 27.47 N

合力向左。

2.库仑定律与电场

答案: F = 229.2 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·6·6 × 10⁻¹²/0.04² = 202.3 N

F₂ = k·5·6 × 10⁻¹²/0.05² = 107.9 N

矢量和

F = √(202.3² + 107.9²) = 229.2 N

答案

F = 229.2 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.9529 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 10 + 6 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 20·16/(20+16) = 8.889 Ω

R_eq = R₁ + 8.889 = 10 + 8.889 = 18.89 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/18.89 = 0.9529 A

答案

I_R1 = 0.9529 A

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.046 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 30 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 1.923 Ω

R₃ + 1.923 = 16.92 Ω

R₂ ∥ 16.92 = 4.43 Ω

R_eq = R₁ + 4.43 = 30 + 4.43 = 34.43 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 36/34.43 = 1.046 A

答案

I_R1 = 1.046 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 3.297 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 50 Ω = 0.66 ms

i(∞) = V_s/R = 15/50 = 0.3 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−1/0.66 = 3.297 V

答案

v_L = 3.297 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 471.3 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 10 kΩ · 68 µF = 680 ms

v_C(t) = 20 + (6 − 20)·e^−t/τ

求解时间

13 = 20 + (−14)·e^−t/τ → e^−t/τ = (13 − 20)/(6 − 20) = 0.5

t = τ·ln((6 − 20)/(13 − 20)) = 680·ln(2) = 471.3 ms

答案

t = 471.3 ms

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 750 mV

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = (0.5 − 0.2)·0.01 = 0.003 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 25·0.003/0.1 = 0.75 V

答案

ε = 750 mV

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 6 V

自感电动势

电动势阻碍电流的变化（楞次定律），所以它的符号与 ΔI 相反；大小为 L·|ΔI|/Δt。

ε = L·ΔI/Δt = 0.08·1.5/0.02 = 6 V

答案

ε = 6 V

9.交流阻抗和相量

答案: φ = 27.01 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (15.29)²) = 33.67 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(15.29/30) = 27.01°

答案

φ = 27.01°

10.交流阻抗和相量

答案: Q = 5.157

谐振频率

f₀ = 1/(2π·√(0.005·0.47·10⁻⁶)) = 3283 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.005/(0.47·10⁻⁶)) = 5.157

答案

Q = 5.157

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