物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

三个点电荷位于一条直线上：左边为 +6 µC，右边相距 30 cm 处为 +8 µC，两者之间距左边电荷 18 cm 处为 +5 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +6 µCq_R = +8 µCq_M = +5 µCr_L = 18 cmr_R = 12 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 6 µC 位于直角顶点，q₁ = 3 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 3 µC 沿另一条直角边距它 4 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 3 µCq₂ = 3 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 36 VR₁ = 25 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 20 VR = 100 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 150 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 68 µFt = 150 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一个电子以 2.5 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 20 mT 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2.5 × 10⁶ m/sB = 20 mT

r = cm

8.磁场与电磁感应困难

两个自感分别为 20 mH 和 50 mH 的线圈，耦合系数为 0.9。第一个线圈中的电流以 200 A/s 变化。求第二个线圈中感应出的电动势 ε。

L₁ = 20 mHL₂ = 50 mHk = 0.9di/dt = 200 A/s

ε = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 100 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

电阻 R₁ 与 R₂ 和电容 C 的并联组合串联，接在 24 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求阻抗的模 |Z|。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 20 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 16.65 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

F_L = +k·6·5 × 10⁻¹²/0.18² = 8.324 N

F_R = −k·8·5 × 10⁻¹²/0.12² = −24.97 N

合力

F = 8.324 + (−24.97) = −16.65 N → |F| = 16.65 N

答案

F = 16.65 N

合力向左。

2.库仑定律与电场

答案: F = 206.3 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·3·6 × 10⁻¹²/0.03² = 179.8 N

F₂ = k·3·6 × 10⁻¹²/0.04² = 101.1 N

矢量和

F = √(179.8² + 101.1²) = 206.3 N

答案

F = 206.3 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 22.31 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2.308 Ω

R_eq = R₁ + 2.308 = 20 + 2.308 = 22.31 Ω

答案

R_eq = 22.31 Ω

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.6013 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 30 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 8.87 Ω

R₃ + 8.87 = 18.87 Ω

R₂ ∥ 18.87 = 8.357 Ω

R_eq = R₁ + 8.357 = 25 + 8.357 = 33.36 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 36/33.36 = 1.079 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 1.079·25 = 9.019 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9.019/15 = 0.6013 A

答案

I_R2 = 0.6013 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 0.2123 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0.22 ms

i(∞) = V_s/R = 20/100 = 0.2 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 20·e^−1/0.22 = 0.2123 V

答案

v_L = 0.2123 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 0.1202 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 12·1/(10 + 1) = 1.091 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 1·68 = 68 ms

放电

v_C(t) = 1.091·e^−150/68 = 0.1202 V

答案

v_C = 0.1202 V

7.磁场与电磁感应

答案: r = 0.07108 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力的平衡

磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 9.109 × 10⁻³¹·2.5 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.02) = 0.0007108 m = 0.07108 cm

答案

r = 0.07108 cm

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 5.692 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

互感

M = 0.9·√(20·50) = 28.46 mH

感应电动势

ε = M·di/dt = 0.02846·200 = 5.692 V

答案

ε = 5.692 V

9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.4188 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (117.7)²) = 119.4 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/119.4 = 0.4188 A

答案

I = 0.4188 A

10.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 28.57 Ω

电抗

X_C = 1/(2π·200·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Z_p 分成实部和虚部。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 2.734 − j6.87 Ω

总阻抗

Z = 25 + 2.734 − j6.87 = 27.73 − j6.87 Ω

|Z| = √(27.73² + 6.87²) = 28.57 Ω

答案

|Z| = 28.57 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism