物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

三个点电荷位于一条直线上：左边为 −1 µC，右边相距 10 cm 处为 −8 µC，两者之间距左边电荷 6 cm 处为 +5 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −1 µCq_R = −8 µCq_M = +5 µCr_L = 6 cmr_R = 4 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 3 µC 位于直角顶点，q₁ = 4 µC 沿一条直角边距它 8 cm，q₂ = 6 µC 沿另一条直角边距它 8 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 4 µCq₂ = 6 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 0.25 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 1 AR = 20 ΩL = 68 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 25 ms 时流过 R₂ 的电流 i₂。

V_s = 9 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 10 µFt = 25 ms

i₂ = mA

7.磁场与电磁感应中等

两根相距 15 cm 的长平行导线通有同方向的 5 A 和 2 A 电流。求它们之间每米长度所受的力 F/L。

I₁ = 5 AI₂ = 2 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.磁场与电磁感应困难

一个 200 匝的短线圈紧紧绕在一个 1000 匝、长 40 cm、直径 3 cm 的长螺线管的中部。螺线管中的电流以 200 A/s 变化。求短线圈中感应出的电动势 ε。

N₁ = 1000N₂ = 200l = 40 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 200 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.交流阻抗和相量中等

一个 L = 1 mH 的 RLC 串联电路必须在 200 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f₀ = 200 HzL = 1 mH

C = µF

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 212.3 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

F_L = −k·1·5 × 10⁻¹²/0.06² = −12.49 N

F_R = +k·8·5 × 10⁻¹²/0.04² = 224.7 N

合力

F = −12.49 + (224.7) = 212.3 N → |F| = 212.3 N

答案

F = 212.3 N

合力向右。

2.库仑定律与电场

答案: F = 30.39 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·4·3 × 10⁻¹²/0.08² = 16.86 N

F₂ = k·6·3 × 10⁻¹²/0.08² = 25.28 N

矢量和

F = √(16.86² + 25.28²) = 30.39 N

答案

F = 30.39 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.731 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 10 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 8·22/(8+22) = 5.867 Ω

R_eq = R₁ + 5.867 = 8 + 5.867 = 13.87 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/13.87 = 1.731 A

答案

I_R1 = 1.731 A

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.24 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 3 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 6.667 Ω

R₃ + 6.667 = 16.67 Ω

R₂ ∥ 16.67 = 10 Ω

R_eq = R₁ + 10 = 15 + 10 = 25 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/25 = 0.24 A

答案

I_R1 = 0.24 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 4.713 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3.4 ms

求解时间

0.25 = 1·e^−t/τ → t = τ·ln(1/0.25)

t = 3.4·ln(4) = 4.713 ms

答案

t = 4.713 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: i₂ = 0.4582 mA

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 9·6.8/(6.8 + 6.8) = 4.5 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 6.8·10 = 68 ms

放电

v_C(t) = 4.5·e^−25/68 = 3.116 V

i₂ = v_C/R₂ = 3.116/6.8 = 0.4582 mA

答案

i₂ = 0.4582 mA

7.磁场与电磁感应

答案: F/L = 13.33 µN/m

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

每米长度所受的力

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·5·2/0.15 = 13.33 µN/m

答案

F/L = 13.33 µN/m

同方向的电流相互吸引。

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 88.83 mV

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

互感

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·200·0.0007069/0.4 = 444.1 µH

感应电动势

ε = M·di/dt = 0.0004441·200 = 88.83 mV

答案

ε = 88.83 mV

9.交流阻抗和相量

答案: C = 633.3 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0.001) = 633.3 µF

答案

C = 633.3 µF

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 225.1 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·10·10⁻⁶)) = 225.1 Hz

答案

f₀ = 225.1 Hz

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