物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

两个相同的金属小球分别带有 −6 µC 和 +10 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 20 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −6 µCq₂ = +10 µCr = 20 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 1 µC 位于直角顶点，q₁ = 1 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 8 µC 沿另一条直角边距它 3 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 1 µCq₂ = 8 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 100 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 9 VR₁ = 2.2 kΩR₂ = 10 kΩC = 22 µFt = 100 ms

v_C = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 200 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR₁ = 1 kΩR₂ = 1 kΩC = 220 µFt = 200 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一个质子以 2.5 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 0.2 T 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2.5 × 10⁶ m/sB = 0.2 T

r = cm

8.磁场与电磁感应困难

一个 50 mH 的电感中，电流在 2 ms 内从 2.5 A 均匀变化到 2 A。求自感电动势的大小 ε。

L = 50 mH2.5 A → 2 AΔt = 2 ms

ε = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 47 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电容两端电压的有效值 V_C。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_C = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 0.899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (−6 + 10)/2 = 2 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(2 × 10⁻⁶)²/0.2² = 0.899 N

答案

F = 0.899 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: F = 80.53 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·1·1 × 10⁻¹²/0.03² = 9.989 N

F₂ = k·8·1 × 10⁻¹²/0.03² = 79.91 N

矢量和

F = √(9.989² + 79.91²) = 80.53 N

答案

F = 80.53 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.8953 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 20 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 6·32/(6+32) = 5.053 Ω

R_eq = R₁ + 5.053 = 5 + 5.053 = 10.05 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/10.05 = 0.8953 A

答案

I_R1 = 0.8953 A

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.4308 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 2 + 25 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 4.219 Ω

R₃ + 4.219 = 7.219 Ω

R₂ ∥ 7.219 = 5.601 Ω

R_eq = R₁ + 5.601 = 10 + 5.601 = 15.6 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/15.6 = 1.923 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1.923·10 = 10.77 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10.77/25 = 0.4308 A

答案

I_R2 = 0.4308 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 6.784 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2.2·10/(2.2 + 10) = 1.803 kΩ

v_C(∞) = 9·10/(2.2 + 10) = 7.377 V

时间常数

τ = R_th·C = 1.803·22 = 39.67 ms

充电曲线

v_C(t) = 7.377·(1 − e^−100/39.67) = 6.784 V

答案

v_C = 6.784 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 4.029 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 20·1/(1 + 1) = 10 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 1·220 = 220 ms

放电

v_C(t) = 10·e^−200/220 = 4.029 V

答案

v_C = 4.029 V

7.磁场与电磁感应

答案: r = 13.05 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力的平衡

磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 1.673 × 10⁻²⁷·2.5 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.2) = 0.1305 m = 13.05 cm

答案

r = 13.05 cm

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 12.5 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

自感电动势

电动势阻碍电流的变化（楞次定律），所以它的符号与 ΔI 相反；大小为 L·|ΔI|/Δt。

ε = L·ΔI/Δt = 0.05·0.5/0.002 = 12.5 V

答案

ε = 12.5 V

9.交流阻抗和相量

答案: φ = −54.84 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−21.3)²) = 26.05 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−21.3/15) = −54.84°

答案

φ = −54.84°

10.交流阻抗和相量

答案: V_C = 22.92 V

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (125.2)²) = 138.9 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/138.9 = 0.7201 A

电容电压

V_C = I·X_C = 0.7201·31.83 = 22.92 V

答案

V_C = 22.92 V

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