库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+1 µC 和 +4 µC 的两个电荷相距 40 cm。在两者之间的连线上，距 +1 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +1 µCq2 = +4 µCd = 40 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
+4 µC 和 +4 µC 的两个电荷相距 16 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 12 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +4 µCq2 = +4 µCd = 16 cmh = 12 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 ΩR5 = 6 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 120 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 24 VR1 = 2.2 kΩR2 = 10 kΩC = 47 µFt = 120 ms
vC = V
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 13.8 V？求 t。
Vs = 12 VR = 6.8 kΩC = 220 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
两根相距 5 cm 的长平行导线通有反方向的 25 A 和 25 A 电流。求位于它们正中间的 P 点处磁感应强度的大小 B。
I1 = 25 AI2 = 25 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.磁场与电磁感应困难
一个 20 匝、5 cm × 25 cm 的线圈在 0.05 T 的均匀磁场中，以 300 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 Erms。
N = 20A = 5 cm × 25 cmB = 0.05 Tn = 300 rpm
Erms = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 1 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 13.33 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
1/x² = 4/(40 − x)²
(40 − x)/x = √(4/1) = 2
位置
x = 40/(1 + 2) = 13.33 cm
答案
x = 13.33 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: E = 2.877 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
一个电荷的距离和电场
r = √(8² + 12²) = 14.42 cm
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.1442² = 1.729 × 10⁶ N/C
分量
沿两电荷连线方向的分量抵消。
E = 2·E1·(h/r) = 2·1.729 × 10⁶·0.8321 = 2.877 × 10⁶ N/C
答案
E = 2.877 × 10⁶ N/C
电场沿中垂线方向，背离两个电荷。
3.串并联电阻
答案: Req = 21.78 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 10 + 6 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1.778 Ω
Req = R1 + 1.778 = 20 + 1.778 = 21.78 Ω
答案
Req = 21.78 Ω
4.串并联电阻
答案: Req = 8 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 6 + 4 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 6 Ω
R3 + 6 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 4 Ω
Req = R1 + 4 = 4 + 4 = 8 Ω
答案
Req = 8 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 14.9 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容看到的戴维南等效电路
把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。
Rth = R1 ∥ R2 = 2.2·10/(2.2 + 10) = 1.803 kΩ
vC(∞) = 24·10/(2.2 + 10) = 19.67 V
时间常数
τ = Rth·C = 1.803·47 = 84.75 ms
充电曲线
vC(t) = 19.67·(1 − e−120/84.75) = 14.9 V
答案
vC = 14.9 V
6.RC 和 RL 暂态
答案: t = 1801 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 220 µF = 1496 ms
vC(t) = 12 + (18 − 12)·e−t/τ
求解时间
13.8 = 12 + (6)·e−t/τ → e−t/τ = (13.8 − 12)/(18 − 12) = 0.3
t = τ·ln((18 − 12)/(13.8 − 12)) = 1496·ln(3.333) = 1801 ms
答案
t = 1801 ms
7.磁场与电磁感应
答案: B = 400 µT
电流的磁场：在长直导线周围，磁感线是圆（右手螺旋定则），B = μ₀I/(2πr)。在 N 匝平面圆形线圈的中心，B = μ₀NI/(2R)。在长螺线管内部，磁场是均匀的，B = μ₀nI，其中 n = N/L 是每米匝数，与半径无关。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。使用国际单位制（米和安培），并把多个来源的磁场按矢量相加。
每根导线在 P 点的磁场
B1 = 2 × 10⁻⁷·25/0.025 = 200 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·25/0.025 = 200 µT
合并
B = B₁ + B₂ = 400 µT
答案
B = 400 µT
8.磁场与电磁感应
答案: Erms = 0.2777 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
A = 0.0125 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 20·0.05·0.0125·31.42 = 0.3927 V
有效值
Erms = 0.3927/√2 = 0.2777 V
答案
Erms = 0.2777 V
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.1524 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.15 = 942.5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159.2 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (783.3)²) = 787.4 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 120/787.4 = 0.1524 A
答案
I = 0.1524 A
10.交流阻抗和相量
答案: I = 0.03893 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−307.2)²) = 308.2 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 12/308.2 = 0.03893 A
答案
I = 0.03893 A
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