物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++5 µC−−5 µCP20 cm

一个 +5 µC 的电荷与一个 −5 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 12 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q1 = +5 µCq2 = −5 µCr1 = 12 cmr2 = 8 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
L = 60 cm8°qq

两个质量均为 10 g 的相同小球用长 60 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 8° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 60 cmθ = 8°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​8 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 8 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAR4​30 ΩBR6​5 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 12 VR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 30 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R = 22 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。

Vs = 20 VR = 22 ΩL = 150 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 1 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 6 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 8.7 V？求 t。

Vs = 15 VR = 1 kΩC = 220 µFvC(0) = 6 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
+v = 4 × 10⁵ m/sr = ?B = 1 T

一个 α 粒子以 4 × 10⁵ m/s 的速度垂直于 1 T 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁵ m/sB = 1 T
r = cm
8.磁场与电磁感应困难
E = 5 × 10⁴ V/m, B1​ = 0.1 TB2​ = 1 Tr = ?

一个氘核不发生偏转地通过正交电场 E = 5 × 10⁴ V/m 和磁场 B₁ = 0.1 T 的速度选择器。然后它垂直进入只有磁场 B₂ = 1 T 的第二个区域。求它在该区域中轨迹的半径 r。

E = 5 × 10⁴ V/mB1 = 0.1 TB2 = 1 Tm = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 1000 HzRL = 5 mHC = ?

一个 L = 5 mH 的 RLC 串联电路必须在 1000 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f0 = 1000 HzL = 5 mH
C = µF
10.交流阻抗和相量困难
24 V500 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF
VC = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 1.014 × 10⁷ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.12² = 3.122 × 10⁶ N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0.08² = 7.023 × 10⁶ N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |3.122 × 10⁶ + 7.023 × 10⁶| = 1.014 × 10⁷ N/C

答案

E = 1.014 × 10⁷ N/C
2.库仑定律与电场

答案: q = 206.8 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.01·9.81·tan 8° = 0.01379 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 8° = 0.167 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.167·√(0.01379/8.99 × 10⁹) = 2.068 × 10⁻⁷ C = 206.8 nC

答案

q = 206.8 nC
3.串并联电阻

答案: IR1 = 2.292 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 8 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5.091 Ω
Req = R1 + 5.091 = 8 + 5.091 = 13.09 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/13.09 = 2.292 A

答案

IR1 = 2.292 A
4.串并联电阻

答案: IR1 = 0.4898 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAR4​30 ΩBR6​5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 10 Ω
R3 + 10 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 4.5 Ω
Req = R1 + 4.5 = 20 + 4.5 = 24.5 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/24.5 = 0.4898 A

答案

IR1 = 0.4898 A
5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 10.97 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms
i(∞) = Vs/R = 20/22 = 0.9091 A

求解时间

0.8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)
t = −6.818·ln(0.2) = 10.97 ms

答案

t = 10.97 ms
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 78.47 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms
vC(t) = 15 + (6 − 15)·e−t/τ

求解时间

8.7 = 15 + (−9)·e−t/τ → e−t/τ = (8.7 − 15)/(6 − 15) = 0.7
t = τ·ln((6 − 15)/(8.7 − 15)) = 220·ln(1.429) = 78.47 ms

答案

t = 78.47 ms
7.磁场与电磁感应

答案: r = 0.8296 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力的平衡

磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 6.645 × 10⁻²⁷·4 × 10⁵/(3.204 × 10⁻¹⁹·1) = 0.008296 m = 0.8296 cm

答案

r = 0.8296 cm
8.磁场与电磁感应

答案: r = 1.044 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

选出的速率

不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。

v = E/B1 = 5 × 10⁴/0.1 = 500000 m/s

第二个磁场中的半径

r = mv/(|q|B2) = 0.01044 m = 1.044 cm

答案

r = 1.044 cm
9.交流阻抗和相量

答案: C = 5.066 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0.005) = 5.066 µF

答案

C = 5.066 µF
10.交流阻抗和相量

答案: VC = 32.35 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−4.894)²) = 50.24 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/50.24 = 0.4777 A

电容电压

VC = I·XC = 0.4777·67.73 = 32.35 V

答案

VC = 32.35 V

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