物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++2 µC++1 µC−−6 µC8 cm + 12 cm

三个点电荷位于一条直线上：左边为 +2 µC，右边相距 20 cm 处为 −6 µC，两者之间距左边电荷 8 cm 处为 +1 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +2 µCqR = −6 µCqM = +1 µCrL = 8 cmrR = 12 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
L = 30 cm12°qq

两个质量均为 8 g 的相同小球用长 30 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 12° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 30 cmθ = 12°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩIR2​AR4​2 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​15 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 ΩR5 = 4 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
R = 68 Ωt = 0L10 mHi(t)

电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 电流降到 0.15 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 1.5 AR = 68 ΩL = 10 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 10 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 14 V？求 t。

Vs = 10 VR = 10 kΩC = 100 µFvC(0) = 20 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
20 A12 Ad = 6 cmP

两根相距 6 cm 的长平行导线通有同方向的 20 A 和 12 A 电流。求位于它们正中间的 P 点处磁感应强度的大小 B。

I1 = 20 AI2 = 12 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.磁场与电磁感应困难
Bn = 300 rpm15 cm × 5 cmN = 200B = 0.2 T

一个 200 匝、15 cm × 5 cm 的线圈在 0.2 T 的均匀磁场中，以 300 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求峰值电动势 E0。

N = 200A = 15 cm × 5 cmB = 0.2 Tn = 300 rpm
E0 = V
9.交流阻抗和相量中等
100 V500 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
120 V200 HzR1​ = 20 ΩR2​ = 50 ΩC = 47 µF

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR1 = 20 ΩR2 = 50 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 6.555 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

FL = +k·2·1 × 10⁻¹²/0.08² = 2.809 N
FR = +k·6·1 × 10⁻¹²/0.12² = 3.746 N

合力

F = 2.809 + (3.746) = 6.555 N → |F| = 6.555 N

答案

F = 6.555 N

合力向右。

2.库仑定律与电场

答案: q = 169.9 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 12° = 0.01668 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·0.3·sin 12° = 0.1247 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1247·√(0.01668/8.99 × 10⁹) = 1.699 × 10⁻⁷ C = 169.9 nC

答案

q = 169.9 nC
3.串并联电阻

答案: IR2 = 0.375 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​2 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 10 + 2 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 15·12/(15+12) = 6.667 Ω
Req = R1 + 6.667 = 4 + 6.667 = 10.67 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/10.67 = 0.8437 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.8437·4 = 5.625 V
IR2 = VA/R2 = 5.625/15 = 0.375 A

答案

IR2 = 0.375 A
4.串并联电阻

答案: IR2 = 1.632 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​2 ΩBR6​15 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 4 + 15 = 19 Ω
R4 ∥ 19 = 1.81 Ω
R3 + 1.81 = 11.81 Ω
R2 ∥ 11.81 = 2.988 Ω
Req = R1 + 2.988 = 8 + 2.988 = 10.99 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/10.99 = 2.184 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2.184·8 = 6.526 V
IR2 = VA/R2 = 6.526/4 = 1.632 A

答案

IR2 = 1.632 A
5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.3386 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0.1471 ms

求解时间

0.15 = 1.5·e−t/τ → t = τ·ln(1.5/0.15)
t = 0.1471·ln(10) = 0.3386 ms

答案

t = 0.3386 ms
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 916.3 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms
vC(t) = 10 + (20 − 10)·e−t/τ

求解时间

14 = 10 + (10)·e−t/τ → e−t/τ = (14 − 10)/(20 − 10) = 0.4
t = τ·ln((20 − 10)/(14 − 10)) = 1000·ln(2.5) = 916.3 ms

答案

t = 916.3 ms
7.磁场与电磁感应

答案: B = 53.33 µT

电流的磁场：在长直导线周围，磁感线是圆（右手螺旋定则），B = μ₀I/(2πr)。在 N 匝平面圆形线圈的中心，B = μ₀NI/(2R)。在长螺线管内部，磁场是均匀的，B = μ₀nI，其中 n = N/L 是每米匝数，与半径无关。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。使用国际单位制（米和安培），并把多个来源的磁场按矢量相加。

每根导线在 P 点的磁场

B1 = 2 × 10⁻⁷·20/0.03 = 133.3 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·12/0.03 = 80 µT

合并

B = |B₁ − B₂| = 53.33 µT

答案

B = 53.33 µT
8.磁场与电磁感应

答案: E0 = 9.425 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

角速度与面积

ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
A = 0.0075 m²

峰值电动势

E₀ = NBAω = 200·0.2·0.0075·31.42 = 9.425 V

答案

E0 = 9.425 V
9.交流阻抗和相量

答案: φ = 74.37 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (89.35)²) = 92.79 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(89.35/25) = 74.37°

答案

φ = 74.37°
10.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 29.38 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 5.144 − j15.19 Ω

总阻抗

Z = 20 + 5.144 − j15.19 = 25.14 − j15.19 Ω
|Z| = √(25.14² + 15.19²) = 29.38 Ω

答案

|Z| = 29.38 Ω

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