库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +3 µC 的电荷与一个 −3 µC 的电荷相距 40 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 24 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +3 µCq2 = −3 µCr1 = 24 cmr2 = 16 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 3 g 的相同小球用长 20 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 12° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 3 gL = 20 cmθ = 12°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 25 ΩR4 = 2 ΩR5 = 10 ΩR6 = 6 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。
Vs = 24 VR = 68 ΩL = 220 mHt = 5 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 求 t = 20 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 5 VR = 2.2 kΩC = 33 µFvC(0) = 15 Vt = 20 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
一个质子以 6 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 0.5 T 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sB = 0.5 T
r = cm
8.磁场与电磁感应困难
一个 α 粒子不发生偏转地通过正交电场 E = 4 × 10⁴ V/m 和磁场 B₁ = 0.05 T 的速度选择器。然后它垂直进入只有磁场 B₂ = 0.2 T 的第二个区域。求它在该区域中轨迹的半径 r。
E = 4 × 10⁴ V/mB1 = 0.05 TB2 = 0.2 Tm = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 10 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 12 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 12 V (rms)f = 50 HzR1 = 30 ΩR2 = 50 ΩC = 22 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 1.522 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.24² = 468229 N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0.16² = 1.054 × 10⁶ N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |468229 + 1.054 × 10⁶| = 1.522 × 10⁶ N/C
答案
E = 1.522 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: q = 69.37 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.003·9.81·tan 12° = 0.006256 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 12° = 0.08316 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.08316·√(0.006256/8.99 × 10⁹) = 6.937 × 10⁻⁸ C = 69.37 nC
答案
q = 69.37 nC
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.6429 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 8 + 10 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 4·18/(4+18) = 3.273 Ω
Req = R1 + 3.273 = 12 + 3.273 = 15.27 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 12/15.27 = 0.7857 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.7857·12 = 2.571 V
IR2 = VA/R2 = 2.571/4 = 0.6429 A
答案
IR2 = 0.6429 A
4.串并联电阻
答案: Req = 12.28 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 10 + 6 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 1.778 Ω
R3 + 1.778 = 26.78 Ω
R2 ∥ 26.78 = 7.281 Ω
Req = R1 + 7.281 = 5 + 7.281 = 12.28 Ω
答案
Req = 12.28 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.2777 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3.235 ms
i(∞) = Vs/R = 24/68 = 0.3529 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.3529·(1 − e−5/3.235) = 0.2777 A
答案
i = 0.2777 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 12.59 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms
vC(t) = 5 + (15 − 5)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(20) = 5 + (10)·e−20/72.6 = 12.59 V
答案
vC = 12.59 V
7.磁场与电磁感应
答案: r = 12.53 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
力的平衡
磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
半径
r = 1.673 × 10⁻²⁷·6 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.5) = 0.1253 m = 12.53 cm
答案
r = 12.53 cm
8.磁场与电磁感应
答案: r = 8.296 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
选出的速率
不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。
v = E/B1 = 4 × 10⁴/0.05 = 800000 m/s
第二个磁场中的半径
r = mv/(|q|B2) = 0.08296 m = 8.296 cm
答案
r = 8.296 cm
9.交流阻抗和相量
答案: φ = −82.49 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−227.6)²) = 229.5 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−227.6/30) = −82.49°
答案
φ = −82.49°
10.交流阻抗和相量
答案: I = 0.1574 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 44.67 − j15.44 Ω
总阻抗
Z = 30 + 44.67 − j15.44 = 74.67 − j15.44 Ω
|Z| = √(74.67² + 15.44²) = 76.24 Ω
电流
I = V/|Z| = 12/76.24 = 0.1574 A
答案
I = 0.1574 A
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