物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

+8 µC 和 +3 µC 的两个电荷相距 50 cm。在两者之间的连线上，距 +8 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q₁ = +8 µCq₂ = +3 µCd = 50 cm

x = cm

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 1 µC 位于直角顶点，q₁ = 2 µC 沿一条直角边距它 5 cm，q₂ = 5 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 2 µCq₂ = 5 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 0.25 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 2.5 AR = 33 ΩL = 47 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.191 A？求 t。

V_s = 9 VR₁ = 33 ΩR₂ = 33 ΩL = 150 mH

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一个 25 匝线圈的面积为 10 cm²。线圈在垂直于其平面的 0.5 T 均匀磁场中，在 40 ms 内翻转（转过 180°）。求平均感应电动势 ε。

N = 25A = 10 cm²B = 0.5 TΔt = 40 ms

ε = mV

8.磁场与电磁感应困难

一个 250 匝、15 cm × 10 cm 的线圈在 0.2 T 的均匀磁场中，以 600 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求峰值电动势 E₀。

N = 250A = 15 cm × 10 cmB = 0.2 Tn = 600 rpm

E₀ = V

9.交流阻抗和相量中等

一个 C = 0.1 µF 的 RLC 串联电路必须在 100 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f₀ = 100 HzC = 0.1 µF

L = mH

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 31.01 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

8/x² = 3/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(3/8) = 0.6124

位置

x = 50/(1 + 0.6124) = 31.01 cm

答案

x = 31.01 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 19.37 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·2·1 × 10⁻¹²/0.05² = 7.192 N

F₂ = k·5·1 × 10⁻¹²/0.05² = 17.98 N

矢量和

F = √(7.192² + 17.98²) = 19.37 N

答案

F = 19.37 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 19.76 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 10 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 12·22/(12+22) = 7.765 Ω

R_eq = R₁ + 7.765 = 12 + 7.765 = 19.76 Ω

答案

R_eq = 19.76 Ω

4.串并联电阻

答案: R_eq = 16.22 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 30 = 60 Ω

R₄ ∥ 60 = 2.857 Ω

R₃ + 2.857 = 27.86 Ω

R₂ ∥ 27.86 = 6.215 Ω

R_eq = R₁ + 6.215 = 10 + 6.215 = 16.22 Ω

答案

R_eq = 16.22 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 3.279 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 33 Ω = 1.424 ms

求解时间

0.25 = 2.5·e^−t/τ → t = τ·ln(2.5/0.25)

t = 1.424·ln(10) = 3.279 ms

答案

t = 3.279 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 2.327 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 9/(33 + 33) = 0.1364 A

i(∞) = 9/33 = 0.2727 A

τ = L/R = 150/33 = 4.545 ms

i(t) = 0.2727 + (0.1364 − 0.2727)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (0.191 − 0.2727)/(0.1364 − 0.2727) = 0.5993

t = 4.545·ln(1.669) = 2.327 ms

答案

t = 2.327 ms

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 625 mV

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = 2·0.5·0.001 = 0.001 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 25·0.001/0.04 = 0.625 V

答案

ε = 625 mV

8.磁场与电磁感应

答案: E₀ = 47.12 V

角速度与面积

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

A = 0.015 m²

峰值电动势

E₀ = NBAω = 250·0.2·0.015·62.83 = 47.12 V

答案

E₀ = 47.12 V

9.交流阻抗和相量

答案: L = 25330 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·100 = 628.3 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628.3²·0.1·10⁻⁶) = 25330 mH

答案

L = 25330 mH

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 189.6 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.15·4.7·10⁻⁶)) = 189.6 Hz

答案

f₀ = 189.6 Hz

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