库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
三个点电荷位于一条直线上：左边为 −6 µC，右边相距 30 cm 处为 −2 µC，两者之间距左边电荷 7.5 cm 处为 +8 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = −6 µCqR = −2 µCqM = +8 µCrL = 7.5 cmrR = 22.5 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
+6 µC 和 +6 µC 的两个电荷相距 8 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 4 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +6 µCq2 = +6 µCd = 8 cmh = 4 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 36 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 15 ΩR5 = 8 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。
Vs = 12 VR = 100 ΩL = 100 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 25 ms 时流过 R2 的电流 i2。
Vs = 9 VR1 = 6.8 kΩR2 = 2.2 kΩC = 33 µFt = 25 ms
i2 = mA
7.磁场与电磁感应中等
一根导线通有电流 向页面上方，穿过均匀磁场（磁场方向垂直进入纸面）。点选导线所受磁力的方向。
I: 向页面上方B: 垂直进入纸面
- 1向页面上方
- 2向右
- 3向页面下方
- 4向左
8.磁场与电磁感应困难
一个 100 匝、20 cm × 15 cm 的线圈在 0.1 T 的均匀磁场中，以 600 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 Erms。
N = 100A = 20 cm × 15 cmB = 0.1 Tn = 600 rpm
Erms = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 10 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 47 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 73.87 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
每个电荷产生的力
向右为正。
FL = −k·6·8 × 10⁻¹²/0.075² = −76.71 N
FR = +k·2·8 × 10⁻¹²/0.225² = 2.841 N
合力
F = −76.71 + (2.841) = −73.87 N → |F| = 73.87 N
答案
F = 73.87 N
合力向左。
2.库仑定律与电场
答案: E = 2.384 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
一个电荷的距离和电场
r = √(4² + 4²) = 5.657 cm
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.05657² = 1.686 × 10⁷ N/C
分量
沿两电荷连线方向的分量抵消。
E = 2·E1·(h/r) = 2·1.686 × 10⁷·0.7071 = 2.384 × 10⁷ N/C
答案
E = 2.384 × 10⁷ N/C
电场沿中垂线方向，背离两个电荷。
3.串并联电阻
答案: Req = 9.81 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 6 + 10 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 5·16/(5+16) = 3.81 Ω
Req = R1 + 3.81 = 6 + 3.81 = 9.81 Ω
答案
Req = 9.81 Ω
4.串并联电阻
答案: Req = 8.209 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 8 + 8 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 7.742 Ω
R3 + 7.742 = 27.74 Ω
R2 ∥ 27.74 = 6.209 Ω
Req = R1 + 6.209 = 2 + 6.209 = 8.209 Ω
答案
Req = 8.209 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.07585 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 12/100 = 0.12 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.12·(1 − e−1/1) = 0.07585 A
答案
i = 0.07585 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: i2 = 0.7087 mA
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容的初始电压
稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。
vC(0) = 9·2.2/(6.8 + 2.2) = 2.2 V
开关断开后的时间常数
τ = R2·C = 2.2·33 = 72.6 ms
放电
vC(t) = 2.2·e−25/72.6 = 1.559 V
i2 = vC/R2 = 1.559/2.2 = 0.7087 mA
答案
i2 = 0.7087 mA
7.磁场与电磁感应
答案: 向左
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
右手定则
四指沿电流或速度方向，向 B 的方向弯曲；拇指指向正电荷所受的力。
I: 向页面上方, B: 垂直进入纸面
力的方向
向左
答案
F: 向左
8.磁场与电磁感应
答案: Erms = 13.33 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s
A = 0.03 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 100·0.1·0.03·62.83 = 18.85 V
有效值
Erms = 18.85/√2 = 13.33 V
答案
Erms = 13.33 V
9.交流阻抗和相量
答案: φ = −83.06 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−246.4)²) = 248.2 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−246.4/30) = −83.06°
答案
φ = −83.06°
10.交流阻抗和相量
答案: I = 3.423 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−21.3)²) = 29.22 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 100/29.22 = 3.423 A
答案
I = 3.423 A
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism