物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

三个点电荷位于一条直线上：左边为 +2 µC，右边相距 40 cm 处为 −2 µC，两者之间距左边电荷 30 cm 处为 −1 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +2 µCq_R = −2 µCq_M = −1 µCr_L = 30 cmr_R = 10 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 3 µC 位于直角顶点，q₁ = 6 µC 沿一条直角边距它 6 cm，q₂ = 5 µC 沿另一条直角边距它 8 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 6 µCq₂ = 5 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 36 VR₁ = 25 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 20 VR = 100 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_L = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 10 V，极性如图所示。求 t = 80 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 33 µFv_C(0) = 10 Vt = 80 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一个圆形回路位于磁场方向为垂直进入纸面的均匀磁场中。磁场强度正在增大。点选图中所见的回路感应电流方向。

B: 垂直进入纸面dB/dt > 0

1顺时针
2逆时针

8.磁场与电磁感应困难

在速度选择器中，正交的电场 E = 1 × 10⁵ V/m 和磁场 B = 0.5 T 只允许一种速率的离子直线通过。求该速率 v。

E = 1 × 10⁵ V/mB₁ = 0.5 T

v = m/s

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 22 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路的 R = 20 Ω，L = 100 mH，C = 0.22 µF。求其谐振时的品质因数 Q。

R = 20 ΩL = 100 mHC = 0.22 µF

Q =

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 1.998 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

F_L = −k·2·1 × 10⁻¹²/0.3² = −0.1998 N

F_R = −k·2·1 × 10⁻¹²/0.1² = −1.798 N

合力

F = −0.1998 + (−1.798) = −1.998 N → |F| = 1.998 N

答案

F = 1.998 N

合力向左。

2.库仑定律与电场

答案: F = 49.64 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·6·3 × 10⁻¹²/0.06² = 44.95 N

F₂ = k·5·3 × 10⁻¹²/0.08² = 21.07 N

矢量和

F = √(44.95² + 21.07²) = 49.64 N

答案

F = 49.64 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 22.48 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 20 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 20·22/(20+22) = 10.48 Ω

R_eq = R₁ + 10.48 = 12 + 10.48 = 22.48 Ω

答案

R_eq = 22.48 Ω

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.186 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 30 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 4.5 Ω

R₃ + 4.5 = 6.5 Ω

R₂ ∥ 6.5 = 5.342 Ω

R_eq = R₁ + 5.342 = 25 + 5.342 = 30.34 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 36/30.34 = 1.186 A

答案

I_R1 = 1.186 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 2.382 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0.47 ms

i(∞) = V_s/R = 20/100 = 0.2 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 20·e^−1/0.47 = 2.382 V

答案

v_L = 2.382 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 11.82 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms

v_C(t) = 12 + (10 − 12)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(80) = 12 + (−2)·e^−80/33 = 11.82 V

答案

v_C = 11.82 V

7.磁场与电磁感应

答案: 逆时针

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

磁通量的变化

进入纸面的磁通量增大，或穿出纸面的磁通量减小。

感应电流的磁场

感应电流阻碍这一变化。

回路内部的感应磁场：穿出纸面。

电流的方向

右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。

逆时针

答案

逆时针

8.磁场与电磁感应

答案: v = 200000 m/s

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

选出的速率

不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。

v = E/B₁ = 1 × 10⁵/0.5 = 200000 m/s

答案

v = 200000 m/s

9.交流阻抗和相量

答案: I = 1.22 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (84.74)²) = 98.39 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/98.39 = 1.22 A

答案

I = 1.22 A

10.交流阻抗和相量

答案: Q = 33.71

谐振频率

f₀ = 1/(2π·√(0.1·0.22·10⁻⁶)) = 1073 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.1/(0.22·10⁻⁶)) = 33.71

答案

Q = 33.71

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