物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +4 µC 的电荷与一个 −10 µC 的电荷相距 40 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 10 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +4 µCq₂ = −10 µCr₁ = 10 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

两个质量均为 5 g 的相同小球用长 50 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 15° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 50 cmθ = 15°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 150 mH

W(∞) = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 5 V，极性如图所示。求 t = 400 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR = 4.7 kΩC = 220 µFv_C(0) = 5 Vt = 400 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一个电子以 2 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 2 mT 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sB = 2 mT

r = cm

8.磁场与电磁感应困难

在速度选择器中，正交的电场 E = 1 × 10⁵ V/m 和磁场 B = 0.25 T 只允许一种速率的离子直线通过。求该速率 v。

E = 1 × 10⁵ V/mB₁ = 0.25 T

v = m/s

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求从电源吸取的有功功率 P。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF

P = W

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 24 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 24 V (rms)R = 15 ΩL = 200 mHC = 0.47 µF

V_L = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 4.595 × 10⁶ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0.1² = 3.596 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0.3² = 998889 N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |3.596 × 10⁶ + 998889| = 4.595 × 10⁶ N/C

答案

E = 4.595 × 10⁶ N/C

2.库仑定律与电场

答案: q = 312.9 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 15° = 0.01314 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·0.5·sin 15° = 0.2588 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.2588·√(0.01314/8.99 × 10⁹) = 3.129 × 10⁻⁷ C = 312.9 nC

答案

q = 312.9 nC

3.串并联电阻

答案: R_eq = 7.105 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 8 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 6·13/(6+13) = 4.105 Ω

R_eq = R₁ + 4.105 = 3 + 4.105 = 7.105 Ω

答案

R_eq = 7.105 Ω

4.串并联电阻

答案: R_eq = 10.15 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 10 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 3.158 Ω

R₃ + 3.158 = 8.158 Ω

R₂ ∥ 8.158 = 6.151 Ω

R_eq = R₁ + 6.151 = 4 + 6.151 = 10.15 Ω

答案

R_eq = 10.15 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 18.75 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7.5 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0.5 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·0.5² = 18.75 mJ

答案

W(∞) = 18.75 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 9.812 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 220 µF = 1034 ms

v_C(t) = 20 + (5 − 20)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(400) = 20 + (−15)·e^−400/1034 = 9.812 V

答案

v_C = 9.812 V

7.磁场与电磁感应

答案: r = 0.5686 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力的平衡

磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 9.109 × 10⁻³¹·2 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.002) = 0.005686 m = 0.5686 cm

答案

r = 0.5686 cm

8.磁场与电磁感应

答案: v = 400000 m/s

选出的速率

不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。

v = E/B₁ = 1 × 10⁵/0.25 = 400000 m/s

答案

v = 400000 m/s

9.交流阻抗和相量

答案: P = 46.48 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 314.2 Ω, X_C = 169.3 Ω

阻抗

|Z| = √(100² + (144.8)²) = 176 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 120/176 = 0.6818 A

P = I²·R = 0.6818²·100 = 46.48 W

答案

P = 46.48 W

10.交流阻抗和相量

答案: V_L = 1044 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·0.47·10⁻⁶) = 3262 rad/s

I = V/R = 24/15 = 1.6 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 3262·0.2 = 652.3 Ω

V_L = I·X_L = 1.6·652.3 = 1044 V

答案

V_L = 1044 V

这是电源电压的 Q = 43.49 倍。

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