物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++10 µC−−1 µCP60 cm

一个 +10 µC 的电荷与一个 −1 µC 的电荷相距 60 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 15 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q1 = +10 µCq2 = −1 µCr1 = 15 cmr2 = 45 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
6 cm10 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +3 µC+q2​ = +3 µC

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 3 µC 位于直角顶点，q₁ = 10 µC 沿一条直角边距它 6 cm，q₂ = 3 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q1 = 10 µCq2 = 3 µCq3 = 3 µCr13 = 6 cmr23 = 10 cm
F = N
3.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​5 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 20 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​30 ΩBR6​2 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩR4 = 30 ΩR5 = 8 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​24 Vt = 0R = 50 ΩL33 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 24 VR = 50 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = 10 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 8.9 V？求 t。

Vs = 5 VR = 10 kΩC = 47 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
10 A25 Ad = 5 cmP

两根相距 5 cm 的长平行导线通有同方向的 10 A 和 25 A 电流。求位于它们正中间的 P 点处磁感应强度的大小 B。

I1 = 10 AI2 = 25 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.磁场与电磁感应困难
Bn = 1500 rpm20 cm × 10 cmN = 200B = 0.1 T

一个 200 匝、20 cm × 10 cm 的线圈在 0.1 T 的均匀磁场中，以 1500 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 Erms。

N = 200A = 20 cm × 10 cmB = 0.1 Tn = 1500 rpm
Erms = V
9.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 100 HzRL = ?C = 0.22 µF

一个 C = 0.22 µF 的 RLC 串联电路必须在 100 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f0 = 100 HzC = 0.22 µF
L = mH
10.交流阻抗和相量困难
10 Vf0​R = 10 ΩL = 50 mHC = 0.47 µF

一个 RLC 串联电路由 10 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 10 V (rms)R = 10 ΩL = 50 mHC = 0.47 µF
VL = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 4.04 × 10⁶ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.15² = 3.996 × 10⁶ N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0.45² = 44395 N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |3.996 × 10⁶ + 44395| = 4.04 × 10⁶ N/C

答案

E = 4.04 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场

答案: F = 75.35 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F1 = k·10·3 × 10⁻¹²/0.06² = 74.92 N
F2 = k·3·3 × 10⁻¹²/0.1² = 8.091 N

矢量和

F = √(74.92² + 8.091²) = 75.35 N

答案

F = 75.35 N
3.串并联电阻

答案: IR1 = 1.424 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 5 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 2·25/(2+25) = 1.852 Ω
Req = R1 + 1.852 = 15 + 1.852 = 16.85 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/16.85 = 1.424 A

答案

IR1 = 1.424 A
4.串并联电阻

答案: Req = 6.943 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​30 ΩBR6​2 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 2 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 7.5 Ω
R3 + 7.5 = 11.5 Ω
R2 ∥ 11.5 = 3.943 Ω
Req = R1 + 3.943 = 3 + 3.943 = 6.943 Ω

答案

Req = 6.943 Ω
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3745 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 50 Ω = 0.66 ms
i(∞) = Vs/R = 24/50 = 0.48 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.48·(1 − e−1/0.66) = 0.3745 A

答案

i = 0.3745 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 565.9 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms
vC(t) = 5 + (18 − 5)·e−t/τ

求解时间

8.9 = 5 + (13)·e−t/τ → e−t/τ = (8.9 − 5)/(18 − 5) = 0.3
t = τ·ln((18 − 5)/(8.9 − 5)) = 470·ln(3.333) = 565.9 ms

答案

t = 565.9 ms
7.磁场与电磁感应

答案: B = 120 µT

电流的磁场：在长直导线周围，磁感线是圆（右手螺旋定则），B = μ₀I/(2πr)。在 N 匝平面圆形线圈的中心，B = μ₀NI/(2R)。在长螺线管内部，磁场是均匀的，B = μ₀nI，其中 n = N/L 是每米匝数，与半径无关。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。使用国际单位制（米和安培），并把多个来源的磁场按矢量相加。

每根导线在 P 点的磁场

B1 = 2 × 10⁻⁷·10/0.025 = 80 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·25/0.025 = 200 µT

合并

B = |B₁ − B₂| = 120 µT

答案

B = 120 µT
8.磁场与电磁感应

答案: Erms = 44.43 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

角速度与面积

ω = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
A = 0.02 m²

峰值电动势

E₀ = NBAω = 200·0.1·0.02·157.1 = 62.83 V

有效值

Erms = 62.83/√2 = 44.43 V

答案

Erms = 44.43 V
9.交流阻抗和相量

答案: L = 11514 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·100 = 628.3 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628.3²·0.22·10⁻⁶) = 11514 mH

答案

L = 11514 mH
10.交流阻抗和相量

答案: VL = 326.2 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·0.47·10⁻⁶) = 6523 rad/s
I = V/R = 10/10 = 1 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 6523·0.05 = 326.2 Ω
VL = I·XL = 1·326.2 = 326.2 V

答案

VL = 326.2 V

这是电源电压的 Q = 32.62 倍。

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