物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +6 µC 的电荷与一个 −6 µC 的电荷相距 60 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 24 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +6 µCq₂ = −6 µCr₁ = 24 cmr₂ = 36 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 1 µC 位于直角顶点，q₁ = 3 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 2 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 3 µCq₂ = 2 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 90%？求 t。

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 22 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 20 V？求 t。

V_s = 5 VR = 4.7 kΩC = 100 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一个 20 匝线圈的面积为 40 cm²。线圈在垂直于其平面的 0.2 T 均匀磁场中，在 40 ms 内翻转（转过 180°）。求平均感应电动势 ε。

N = 20A = 40 cm²B = 0.2 TΔt = 40 ms

ε = mV

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 200 匝，长度为 25 cm，直径为 1 cm。当它通有 3 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。

N = 200l = 25 cm⌀ = 1 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.交流阻抗和相量中等

一个电阻和一个电容并联接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求阻抗的模 |Z|。

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF

I = A

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 1.353 × 10⁶ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0.24² = 936458 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0.36² = 416204 N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |936458 + 416204| = 1.353 × 10⁶ N/C

答案

E = 1.353 × 10⁶ N/C

2.库仑定律与电场

答案: F = 30.02 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·3·1 × 10⁻¹²/0.03² = 29.97 N

F₂ = k·2·1 × 10⁻¹²/0.1² = 1.798 N

矢量和

F = √(29.97² + 1.798²) = 30.02 N

答案

F = 30.02 N

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.5 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 8 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 2·20/(2+20) = 1.818 Ω

R_eq = R₁ + 1.818 = 20 + 1.818 = 21.82 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/21.82 = 0.55 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.55·20 = 1 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1/2 = 0.5 A

答案

I_R2 = 0.5 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 17.29 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 2 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 8.235 Ω

R₃ + 8.235 = 11.24 Ω

R₂ ∥ 11.24 = 5.291 Ω

R_eq = R₁ + 5.291 = 12 + 5.291 = 17.29 Ω

答案

R_eq = 17.29 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.078 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0.4681 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0.1915 A

求解时间

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −0.4681·ln(0.1) = 1.078 ms

答案

t = 1.078 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 240.1 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 100 µF = 470 ms

v_C(t) = 5 + (30 − 5)·e^−t/τ

求解时间

20 = 5 + (25)·e^−t/τ → e^−t/τ = (20 − 5)/(30 − 5) = 0.6

t = τ·ln((30 − 5)/(20 − 5)) = 470·ln(1.667) = 240.1 ms

答案

t = 240.1 ms

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 800 mV

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = 2·0.2·0.004 = 0.0016 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 20·0.0016/0.04 = 0.8 V

答案

ε = 800 mV

8.磁场与电磁感应

答案: W = 71.06 µJ

自感

L = μ₀N²A/l = 15.79 µH

储存的能量

W = ½LI² = ½·1.579 × 10⁻⁵·3² = 7.106 × 10⁻⁵ J = 71.06 µJ

答案

W = 71.06 µJ

9.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 47.26 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

I_R = V/R = 100/50 = 2 A

I_X = V/X_C = 100/144.7 = 0.6912 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(I_R² + I_X²) = √(2² + 0.6912²) = 2.116 A

阻抗

|Z| = V/I = 100/2.116 = 47.26 Ω

答案

|Z| = 47.26 Ω

10.交流阻抗和相量

答案: I = 0.1994 A

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·2.2·10⁻⁶) = 1206 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−1149)²) = 1154 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/1154 = 0.1994 A

答案

I = 0.1994 A

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