物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

三个点电荷位于一条直线上：左边为 +4 µC，右边相距 30 cm 处为 +3 µC，两者之间距左边电荷 22.5 cm 处为 +5 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +4 µCq_R = +3 µCq_M = +5 µCr_L = 22.5 cmr_R = 7.5 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 5 µC 位于直角顶点，q₁ = 1 µC 沿一条直角边距它 4 cm，q₂ = 8 µC 沿另一条直角边距它 6 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 1 µCq₂ = 8 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_L = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 24 V？求 t。

V_s = 10 VR = 3.3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一个正方形回路向右运动，进入磁场方向为垂直进入纸面的均匀磁场区域。回路进入磁场时，点选图中所见的回路感应电流方向。

B: 垂直进入纸面进入磁场

1顺时针
2逆时针

8.磁场与电磁感应困难

一个 50 匝、10 cm × 15 cm 的线圈在 0.4 T 的均匀磁场中，以 1500 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 E_rms。

N = 50A = 10 cm × 15 cmB = 0.4 Tn = 1500 rpm

E_rms = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 1 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 20.42 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

F_L = +k·4·5 × 10⁻¹²/0.225² = 3.552 N

F_R = −k·3·5 × 10⁻¹²/0.075² = −23.97 N

合力

F = 3.552 + (−23.97) = −20.42 N → |F| = 20.42 N

答案

F = 20.42 N

合力向左。

2.库仑定律与电场

答案: F = 103.8 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·1·5 × 10⁻¹²/0.04² = 28.09 N

F₂ = k·8·5 × 10⁻¹²/0.06² = 99.89 N

矢量和

F = √(28.09² + 99.89²) = 103.8 N

答案

F = 103.8 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.6923 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 12·24/(12+24) = 8 Ω

R_eq = R₁ + 8 = 5 + 8 = 13 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/13 = 0.6923 A

答案

I_R1 = 0.6923 A

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.099 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 3 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 3 Ω

R₃ + 3 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 1.84 Ω

R_eq = R₁ + 1.84 = 20 + 1.84 = 21.84 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/21.84 = 1.099 A

答案

I_R1 = 1.099 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 0.4104 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0.1 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−5/2 = 0.4104 V

答案

v_L = 0.4104 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 55.32 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 47 µF = 155.1 ms

v_C(t) = 10 + (30 − 10)·e^−t/τ

求解时间

24 = 10 + (20)·e^−t/τ → e^−t/τ = (24 − 10)/(30 − 10) = 0.7

t = τ·ln((30 − 10)/(24 − 10)) = 155.1·ln(1.429) = 55.32 ms

答案

t = 55.32 ms

7.磁场与电磁感应

答案: 逆时针

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

磁通量的变化

进入纸面的磁通量增大，或穿出纸面的磁通量减小。

感应电流的磁场

感应电流阻碍这一变化。

回路内部的感应磁场：穿出纸面。

电流的方向

右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。

逆时针

答案

逆时针

8.磁场与电磁感应

答案: E_rms = 33.32 V

角速度与面积

ω = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

A = 0.015 m²

峰值电动势

E₀ = NBAω = 50·0.4·0.015·157.1 = 47.12 V

有效值

E_rms = 47.12/√2 = 33.32 V

答案

E_rms = 33.32 V

9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.2555 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.25 = 785.4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (467.1)²) = 469.8 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/469.8 = 0.2555 A

答案

I = 0.2555 A

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 519.1 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·4.7·10⁻⁶)) = 519.1 Hz

答案

f₀ = 519.1 Hz

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