大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 25 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 18 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 25 mv_0B = 18 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 110 N 的水平力拉前面 8 kg 的物块；3 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 8 kgF = 110 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 65° 的角度抛出，落在 30 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 65°R = 30 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 15 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 15° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 17 m 后的速度 v。

θ = 15°μ = 0.15d = 17 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 4 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 40 m/s 水平运动的 7 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。2 kg 的碎片以 57 m/s 继续向前运动。求 5 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 7 kgu = 40 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 57 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.45 kgv_in = 11 m/sv_out = 19 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 160 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 160 kPav₁ = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 50 mm，表压为 30 kPa。喷嘴出口直径为 30 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 50 mmp₁ = 30 kPa (表压)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

150 g CH₄在 700 kPa 和 25 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 150 gM = 16.04 g/molP = 700 kPaT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的He从 100 kPa、5 L、15 °C 变化到 800 kPa 和 100 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 100 kPaV₁ = 5 LT₁ = 15 °CP₂ = 800 kPaT₂ = 100 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 7 kW 的热量使冷库保持在 -20 °C，并向 28 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = -20 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 7 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 750 °C 的热源吸热，向温度为 T_m 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 20 °C 的热源放热。两台热机的热效率相同。求 T_m，以 °C 表示。

T_H = 750 °CT_L = 20 °C

T_m = °C

19.波、声与光学中等

一端封闭的管的第 5 次谐波必须为 572 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 5f₅ = 572 Hz

L = m

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 24 cm 的凸面镜前 6 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 6 cmR = 24 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 24.11 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·4) = 24.11 m

答案

s = 24.11 m

2.运动学

答案: t = 1.389 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

25 − ½g·t² = 18·t − ½g·t² → t = 25/18 = 1.389 s

答案

t = 1.389 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.216 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.3·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2457) = 3.216 m/s²

答案

a = 3.216 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 30 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (110 − 32.37)/11 = 7.057 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(7.057 + 2.943) = 30 N

答案

T = 30 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 19.6 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·30/sin 130°) = 19.6 m/s

答案

v₀ = 19.6 m/s

6.抛体运动

答案: x = 48.59 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 25° = 13.59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 25° = 6.339 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 6.339·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.339 + √(40.19 + 784.8))/9.81 = 3.574 s

水平距离

x = v_x·t = 13.59·3.574 = 48.59 m

答案

x = 48.59 m

7.功和能

答案: v = 6.164 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·17·(0.2588 − 0.15·0.9659)) = 6.164 m/s

答案

v = 6.164 m/s

8.功和能

答案: v = 8.606 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(4 − 0.15·1.5) = 92.58 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.775) = 8.606 m/s

答案

v = 8.606 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 33.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 7·40 = 280 kg·m/s

碰撞后的动量

280 = 2·57 + 5·v′₂

v′₂ = (280 − 114)/5 = 33.2 m/s

答案

v′₂ = 33.2 m/s

10.动量与碰撞

答案: J = 13.5 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(19 + 11) = 13.5 N·s

答案

J = 13.5 N·s

11.静水压力

答案: F = 139.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·3 = 139.8 kN

答案

F = 139.8 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.8 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.75·3 = 139.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.75 + 0.5625/(3.75·3) = 3.8 m

答案

y_cp = 3.8 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 122 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(100/50)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 160 + (−37.97) = 122 kPa

答案

p₂ = 122 kPa

14.连续性和伯努利

答案: H = 3.513 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 30/50 = 0.6

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·30000/(1000·0.8704)) = 8.303 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 8.303²/(2·9.81) = 3.513 m

答案

H = 3.513 m

15.理想气体定律

答案: V = 33.12 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 150/16.04 = 9.352 mol

T = 25 + 273.15 = 298.1 K

体积

V = nRT/P = 9.352·8.314·298.1/700 = 33.12 L

答案

V = 33.12 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 0.8094 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 373.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(100/800)·(373.1/288.1) = 0.8094 L

答案

V₂ = 0.8094 L

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 8.327 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 7·301.1/253.1 = 8.327 kW

答案

Q̇_H = 8.327 kW

输入功率：Ẇ = 1.327 kW。

18.热机和制冷机

答案: T_m = 274.5 °C

绝对温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

效率相等

由 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m 得 T_m² = T_H·T_L。

T_m = √(1023·293.1) = 547.7 K = 274.5 °C

答案

T_m = 274.5 °C

19.波、声与光学

答案: L = 0.7496 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/572 = 0.5997 m

长度

L = nλ/4 = 5·0.5997/4 = 0.7496 m

答案

L = 0.7496 m

20.波、声与光学

答案: d_i = −4 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = −R/2 = −12 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/6

d_i = −4 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −4 cm

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