大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 11 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 50 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 35° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 50 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 16 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 14 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 8 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.3d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 10 kgh = 4 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 12 m/s 行驶的 1500 kg 汽车撞上一辆静止的 600 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1500 kgv₁ = 12 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 23 m/s 向东行驶的 1900 kg 汽车与一辆以 22 m/s 向北行驶的 1700 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1900 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 22 m/s (N)

θ = °

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 200 mm，喉部直径 100 mm。入口处的压强比喉部高 31 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 31 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一根内径 20 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1 m，出口（通大气）低于水面 2 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 20 mmz_C = +1 mz₂ = −2 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 20 L 的容器中装有 430 g He，温度为 40 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 430 gM = 4.003 g/molV = 20 LT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 350 kPa 和 30 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 350 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 6 kW 的热量使冷库保持在 -10 °C，并向 25 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = -10 °CT_H = 25 °CQ̇_L = 6 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台热泵从 -10 °C 的热源吸热，向 22 °C 的供暖系统提供 15 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 55%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 22 °CT_L = -10 °Cη_II = 55%Q̇_H = 15 kW

Ẇ = kW

19.波、声与光学中等

两端固定的弦长 0.75 m；波在其上以 200 m/s 传播。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 200 m/sn = 1L = 0.75 m

f₁ = Hz

20.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.5，包层 n₂ = 1.49。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θ_a。

n₁ = 1.5n₂ = 1.49n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 82.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·3) = 82.3 m

答案

s = 82.3 m

2.运动学

答案: h_max = 36.17 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9.81) = 6.167 m

离地面的高度

h_max = 30 + 6.167 = 36.17 m

答案

h_max = 36.17 m

3.牛顿定律

答案: F = 401.9 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 281.3 + 120.5 = 401.9 N

答案

F = 401.9 N

4.牛顿定律

答案: T = 17.71 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 0)/9 = 2.725 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·2.725 + 0 = 17.71 N

答案

T = 17.71 N

5.抛体运动

答案: H = 10.72 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 65° = 6.762 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 65° = 14.5 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 14.5²/(2·9.81) = 10.72 m

答案

H = 10.72 m

6.抛体运动

答案: t = 3.354 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 40° = 10.72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 40° = 8.999 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 8.999·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.999 + √(80.98 + 490.5))/9.81 = 3.354 s

答案

t = 3.354 s

7.功和能

答案: v = 8.814 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·8·(0.7071 − 0.3·0.7071)) = 8.814 m/s

答案

v = 8.814 m/s

8.功和能

答案: v = 8.462 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(4 − 0.1·3.5) = 358.1 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.65) = 8.462 m/s

答案

v = 8.462 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 30857 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·12/2100 = 8.571 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1500·12² = 108000 J

K_after = ½·2100·8.571² = 77143 J

损失的能量

ΔK = 108000 − 77143 = 30857 J

答案

ΔK = 30857 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: θ = 40.56 °

动量分量

p_x = 1900·23 = 43700 kg·m/s

p_y = 1700·22 = 37400 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.8558 → θ = 40.56°

答案

θ = 40.56°

11.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 4.667 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.5·9 = 349.6 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 6.75/(4.5·9) = 4.667 m

答案

y_cp = 4.667 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 63.87 L/s

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性

v₁ = v₂·(100/200)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·31000/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.132 m/s

v₁ = 2.033 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.007854·8.132 = 0.06387 m³/s = 63.87 L/s

答案

Q = 63.87 L/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 1.968 L/s

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·2) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·6.264 = 0.001968 m³/s = 1.968 L/s

答案

Q = 1.968 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 13983 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 430/4.003 = 107.4 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

压强

P = nRT/V = 107.4·8.314·313.1/0.02 = 13983 kPa

答案

P = 13983 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 2.227 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

密度

ρ = 350·16.04/(8.314·303.1) = 2.227 kg/m³

答案

ρ = 2.227 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 6.798 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 6·298.1/263.1 = 6.798 kW

答案

Q̇_H = 6.798 kW

输入功率：Ẇ = 0.798 kW。

18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 2.957 kW

绝对温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 295.1/(295.1 − 263.1) = 9.223

COP = 0.55·9.223 = 5.073

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 15/5.073 = 2.957 kW

答案

Ẇ = 2.957 kW

19.波、声与光学

答案: f₁ = 133.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.75/1 = 1.5 m

频率

f = v/λ = 200/1.5 = 133.3 Hz

答案

f₁ = 133.3 Hz

20.波、声与光学

答案: θ_a = 9.957 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.49/1.5 = 0.9933 → θc = 83.38°

数值孔径

NA = √(1.5² − 1.49²) = 0.1729

接收角

θ_a = arcsin(0.1729) = 9.957°

答案

θ_a = 9.957°

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