大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.3 s，之后汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/ht_r = 1.3 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 19 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 7.5 kg 和 0.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 0.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 65 N 的水平力拉前面 11 kg 的物块；6 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 11 kgF = 65 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 32 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 32 m/sθ = 65°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 17 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.35d = 17 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 25° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 155 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.25。求物块沿斜坡向上移动 4 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 155 Nθ = 25°μ = 0.25d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 12 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 1900 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 600 kgv₁ = 12 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

一辆 1900 kg 的汽车撞上一辆停放的 800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 18.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1900 kgm₂ = 800 kgd = 18.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 270 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 270 kPav₁ = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 100 kPa。喷嘴出口直径为 25 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 100 kPa (表压)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

容积为 5 L 的容器中装有 180 g CO₂，温度为 85 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 180 gM = 44.01 g/molV = 5 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 850 kPa 和 50 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 850 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 800 °C 的热源吸收 2000 kJ 热量，放出 509 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 800 °CQ_H = 2000 kJQ_L = 509 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 28 °C 的厨房中将冷藏室保持在 5 °C，以 1 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 28 °CT_L = 5 °CQ̇_L = 1 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 5 m 处的声级为 85 dB。忽略吸收和反射，求 20 m 处的声级 β₂。

β₁ = 85 dBr₁ = 5 mr₂ = 20 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 450 nmd = 0.15 mmL = 1 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 33.61 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 12.5·1.3 = 16.25 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4.5) = 17.36 m

合计

d = 16.25 + 17.36 = 33.61 m

答案

d = 33.61 m

2.运动学

答案: h_max = 53.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9.81) = 18.4 m

离地面的高度

h_max = 35 + 18.4 = 53.4 m

答案

h_max = 53.4 m

3.牛顿定律

答案: a = 8.584 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7.5 − 0.5)·9.81/(7.5 + 0.5) = 8.584 m/s²

答案

a = 8.584 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 22.94 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (65 − 16.68)/17 = 2.843 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 6·(2.843 + 0.981) = 22.94 N

答案

T = 22.94 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 1.932 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 20° = 16.91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 20° = 6.156 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 6.156²/(2·9.81) = 1.932 m

答案

H = 1.932 m

6.抛体运动

答案: H = 72.87 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 32·sin 65° = 29 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 29²/(2·9.81) = 42.87 m

离地面的高度

H = 30 + 42.87 = 72.87 m

答案

H = 72.87 m

7.功和能

答案: v = 8.104 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·17·(0.5 − 0.35·0.866)) = 8.104 m/s

答案

v = 8.104 m/s

8.功和能

答案: v = 3.324 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 82.92 N

μ·mg·cos θ = 44.45 N

功–能关系

½mv² = (155 − 127.4)·4 = 110.5 J

v = √(2·110.5/20) = 3.324 m/s

答案

v = 3.324 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 32832 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·12/2500 = 2.88 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·600·12² = 43200 J

K_after = ½·2500·2.88² = 10368 J

损失的能量

ΔK = 43200 − 10368 = 32832 J

答案

ΔK = 32832 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 22.65 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·18.5) = 15.94 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2700·15.94/1900 = 22.65 m/s

答案

v₁ = 22.65 m/s

(81.54 km/h)

11.静水压力

答案: F = 485.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·9 = 485.6 kN

答案

F = 485.6 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.048 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·3.75 = 64.38 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 1.953/(1.75·3.75) = 2.048 m

答案

y_cp = 2.048 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 241.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(75/40)² = 7.91 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 7.91²)/1000 = −28.75 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−28.75) = 241.2 kPa

答案

p₂ = 241.2 kPa

14.连续性和伯努利

答案: H = 10.32 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 25/75 = 0.3333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·100000/(1000·0.9877)) = 14.23 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 14.23²/(2·9.81) = 10.32 m

答案

H = 10.32 m

15.理想气体定律

答案: P = 2436 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 180/44.01 = 4.09 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

压强

P = nRT/V = 4.09·8.314·358.1/0.005 = 2436 kPa

答案

P = 2436 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 5.075 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

密度

ρ = 850·16.04/(8.314·323.1) = 5.075 kg/m³

答案

ρ = 5.075 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: T_L = −0.03332 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1073·509/2000 = 273.1 K = −0.03332 °C

答案

T_L = −0.03332 °C

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.08269 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 278.1/(301.1 − 278.1) = 12.09

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1/12.09 = 0.08269 kW

答案

Ẇ_min = 0.08269 kW

19.波、声与光学

答案: β₂ = 72.96 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (5/20)² = 0.0625

新的声级

β₂ = 85 + 10·log₁₀(0.0625) = 72.96 dB

答案

β₂ = 72.96 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: y₂ = 6 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·1/(0.15 × 10⁻³) = 3 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·3 = 6 mm

答案

y₂ = 6 mm

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