大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 18 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 18 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 15° 的角度抛出，落在 70 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 15°R = 70 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 39 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 18 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 39 m/sθ = 50°h_roof = 18 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 120 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 120 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 4.5 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 29 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 29 m/sv_out = 8 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 250 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 250 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一根内径 32 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 2.5 m，出口（通大气）低于水面 5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 32 mmz_C = +2.5 mz₂ = −5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

230 g CO₂在 800 kPa 和 55 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 230 gM = 44.01 g/molP = 800 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 400 kPa 和 150 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 400 kPaT = 150 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 550 °C 的热源吸热，向 20 °C 的环境放热。其实际热效率为 26%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 550 °CT_L = 20 °Cη = 26%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 28 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -18 °C，以 2 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 28 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 2 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

光在金刚石（n = 2.42）中向与水（n = 1.33）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 2.42n₂ = 1.33

θ_c = °

20.波、声与光学困难

波长为 480 nm 的光照射到相距 0.5 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 480 nmd = 0.5 mmL = 3 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 162 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/4 = 9 s

距离

d = v·t = 18·9 = 162 m

答案

d = 162 m

此时警车的速度为 2v = 36 m/s。

2.运动学

答案: t = 3.229 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.229 s

答案

t = 3.229 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.823 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

答案

a = 4.823 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 6.438 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 2.453)/8 = 6.438 m/s²

答案

a = 6.438 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 37.06 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·70/sin 30°) = 37.06 m/s

答案

v₀ = 37.06 m/s

6.抛体运动

答案: x = 135.7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 25.07 m/s, v_y = 29.88 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

18 = 29.88·t − 4.905·t²

t = (29.88 + √(29.88² − 2·9.81·18))/9.81 = 5.413 s

水平距离

x = v_x·t = 25.07·5.413 = 135.7 m

答案

x = 135.7 m

7.功和能

答案: d = 141.6 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.4·9.81) = 141.6 m

答案

d = 141.6 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: v = 8.859 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(4.5 − 0.2·2.5) = 39.24 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

答案

v = 8.859 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.444 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·4 = 0.4444 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·4 = 4.444 m/s

答案

v′₂ = 4.444 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 231.3 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(8 + 29) = 9.25 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 9.25/0.04 = 231.3 N

答案

F_avg = 231.3 N

11.静水压力

答案: F = 147.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

答案

F = 147.2 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.028 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3·2 = 74.16 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0.1667/(3·2) = 3.028 m

答案

y_cp = 3.028 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 182.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(100/50)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−67.5) = 182.5 kPa

答案

p₂ = 182.5 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 7.966 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·5) = √(2·9.81·5) = 9.905 m/s

流量

Q = A·v = 0.0008042·9.905 = 0.007966 m³/s = 7.966 L/s

答案

Q = 7.966 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 17.82 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 230/44.01 = 5.226 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

体积

V = nRT/P = 5.226·8.314·328.1/800 = 17.82 L

答案

V = 17.82 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 1.824 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 150 + 273.15 = 423.1 K

密度

ρ = 400·16.04/(8.314·423.1) = 1.824 kg/m³

答案

ρ = 1.824 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 40.38 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 293.1/823.1 = 64.39 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 26/64.39 = 40.38 %

答案

η_II = 40.38 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.3606 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(301.1 − 255.1) = 5.547

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 2/5.547 = 0.3606 kW

答案

Ẇ_min = 0.3606 kW

19.波、声与光学

答案: θ_c = 33.34 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/2.42 = 0.5496

临界角

θc = arcsin(0.5496) = 33.34°

答案

θ_c = 33.34°

20.波、声与光学

答案: Δy = 2.88 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·3/(0.5 × 10⁻³) = 2.88 mm

答案

Δy = 2.88 mm

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