大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/ht_r = 1 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 22 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 22 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 9.5 kg 和 3 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 1 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1 kgm₂ = 2 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s 抛出，必须落在 95 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 32 m/sR = 95 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 21 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一辆 1800 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 8° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 650 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1800 kgθ = 8°F_r = 650 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 2 mL = 2 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 7 m/s 行驶的 2000 kg 汽车撞上一辆静止的 1800 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 2000 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.45 kgv_in = 14 m/sv_out = 12 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水以 23 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 220 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 23 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 220 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一根内径 40 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 2 m，出口（通大气）低于水面 3 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求 C 点的绝对压强 p_C。大气压为 101.3 kPa。

d = 40 mmz_C = +2 mz₂ = −3 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想气体定律中等

30 g CH₄在 800 kPa 和 100 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 30 gM = 16.04 g/molP = 800 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的CO₂从 150 kPa、10 L、35 °C 变化到 150 kPa 和 130 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 10 LT₁ = 35 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 130 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 350 °C 的热源吸收 4300 kJ 热量，放出 2023 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 350 °CQ_H = 4300 kJQ_L = 2023 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 800 °C 的热源吸收 40 kW 热量，并向 27 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -20 °C 的冷冻室排出热量，也向 27 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 800 °CT₀ = 27 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 40 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

两端固定的弦长 1.5 m；波在其上以 240 m/s 传播。求其第 4 次谐波的频率 f₄。

v = 240 m/sn = 4L = 1.5 m

f₄ = Hz

20.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.4 mm 的两条缝。在 2 m 外的屏上，第 5 条亮条纹距中央条纹 12.5 mm。求波长 λ。

d = 0.4 mmL = 2 my₅ = 12.5 mmm = 5

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 29.86 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 12.5·1 = 12.5 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4.5) = 17.36 m

合计

d = 12.5 + 17.36 = 29.86 m

答案

d = 29.86 m

2.运动学

答案: t = 17.82 s

动力阶段

v₁ = 22·3 = 66 m/s

h₁ = ½·22·3² = 99 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (66 + √(66² + 2·9.81·99))/9.81 = 14.82 s

t = 3 + 14.82 = 17.82 s

答案

t = 17.82 s

3.牛顿定律

答案: a = 5.101 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (9.5 − 3)·9.81/(9.5 + 3) = 5.101 m/s²

答案

a = 5.101 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 4.263 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 19.62 N

m₁·g·sin θ = 5.627 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.205 N

系统的加速度

a = (19.62 − 5.627 − 1.205)/3 = 4.263 m/s²

答案

a = 4.263 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 32.76 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·95/32² = 0.9101

相角

2θ = 65.52° → θ = 32.76°

答案

θ = 32.76°

另一个解为 90° − θ = 57.24°。

6.抛体运动

答案: t = 4.746 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 45° = 14.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 45° = 14.85 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 14.85·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.85 + √(220.5 + 784.8))/9.81 = 4.746 s

答案

t = 4.746 s

7.功和能

答案: P = 62.15 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 8° = 2458 N

F = 2458 + 650 = 3108 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 3108·20 = 62150 W = 62.15 kW

答案

P = 62.15 kW

8.功和能

答案: v = 5.943 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.1·2) = 70.63 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.8) = 5.943 m/s

答案

v = 5.943 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 47.37 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·7/3800 = 3.684 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·2000·7² = 49000 J

K_after = ½·3800·3.684² = 25789 J

损失的比例

ΔK/K = 23211/49000 = 47.37 %

答案

ΔK/K = 47.37 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 292.5 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(12 + 14) = 11.7 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 11.7/0.04 = 292.5 N

答案

F_avg = 292.5 N

11.静水压力

答案: F = 98.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·4 = 98.1 kN

答案

F = 98.1 kN

12.静水压力

答案: F = 22.66 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.75·1.5 = 22.66 kN

答案

F = 22.66 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 232.7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.023/0.01767 = 1.302 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.023/0.004418 = 5.206 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 220 + ½·1000·(5.206² − 1.302²)/1000 = 220 + 12.7 = 232.7 kPa

答案

p₁ = 232.7 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p_C = 52.25 kPa

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(7.672²/2 + 9.81·2)/1000 = 101.3 − 49.05 = 52.25 kPa

答案

p_C = 52.25 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

15.理想气体定律

答案: V = 7.253 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 30/16.04 = 1.87 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

体积

V = nRT/P = 1.87·8.314·373.1/800 = 7.253 L

答案

V = 7.253 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 13.08 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 308.1 K, T₂ = 403.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(150/150)·(403.1/308.1) = 13.08 L

答案

V₂ = 13.08 L

17.热机和制冷机

答案: T_L = 20.02 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 623.1·2023/4300 = 293.2 K = 20.02 °C

答案

T_L = 20.02 °C

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 155.2 kW

绝对温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

热机的功

η = 1 − 300.1/1073 = 0.7203

Ẇ = 0.7203·40 = 28.81 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 253.1/(300.1 − 253.1) = 5.386

Q̇_L = 5.386·28.81 = 155.2 kW

答案

Q̇_L = 155.2 kW

19.波、声与光学

答案: f₄ = 320 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·1.5/4 = 0.75 m

频率

f = v/λ = 240/0.75 = 320 Hz

答案

f₄ = 320 Hz

20.波、声与光学

答案: λ = 500 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.0125·0.0004/(5·2) = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm

答案

λ = 500 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers