电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一个每相阻抗为 12 + j16 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 208 V 的对称三相电源上。求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 208 VZ = 12 + j16 Ω 每相

P = kW

2.三相电困难

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 75 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 75 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.变压器中等

一台单相 250 kVA、7200/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求低压绕组中的电流 I_LV。

S = 250 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.变压器困难

一台单相 50 kVA 变压器的铁损为 300 W，额定负载下铜损为 600 W。它以 0.95（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 50%。求此负载下的总损耗 P_loss，以 W 计。

S = 50 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 600 Wx = 0.5pf = 0.95

P_loss = W

5.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 12 kW，功率因数为 0.65（滞后）。求它吸收的无功功率 Q。

P = 12 kWpf = 0.65V = 230 V

Q = kvar

6.交流功率和功率因数困难

一个 230 V（有效值）、1000 Hz 的电源具有内阻抗 Z_s = 25 + j3 Ω。负载阻抗 Z_L 可以自由选择。获得最大功率的负载由一个电阻与一个电容串联构成。求电容 C。

V_s = 230 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 25 + j3 Ω

C = µF

7.交流阻抗和相量中等

一个电阻和一个电容并联接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩC = 100 µF

I = A

8.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 10 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 10 V (rms)R = 15 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

V_L = V

9.直流电机中等

某直流电机的 k = 0.75 V·s/rad，由 120 V 供电。忽略空载时的所有损耗，求它的空载转速 n₀，单位为 rpm。

V = 120 Vk = 0.75 V·s/rad

n₀ = rpm

10.直流电机困难

某他励直流电机（满励磁时 k = 0.12 V·s/rad，R_a = 1 Ω，V = 48 V）带动 0.48 N·m 的恒定负载转矩。励磁磁通降到满值的 70 %。求新的转速 n。

V = 48 Vk = 0.12 V·s/radR_a = 1 ΩT = 0.48 N·mΦ = 70 %

n = rpm

3溶液

1.三相电

答案: P = 3.894 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

相电压

V_ph = V_L = 208 V

相电流

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω

I_ph = 208/20 = 10.4 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·I_ph²·R = 3·10.4²·12 = 3.894 kW

答案

P = 3.894 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·V_L·I_L·cos φ 得到相同的功率。

2.三相电

答案: Q_C = 61.29 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 75·tan(acos 0.7) = 75·1.02 = 76.52 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.98) = 75·0.2031 = 15.23 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 61.29 kvar

答案

Q_C = 61.29 kvar

3.变压器

答案: I_LV = 1042 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

I_LV = S/V = 250000/240 = 1042 A

答案

I_LV = 1042 A

4.变压器

答案: P_loss = 450 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.25·600 = 150 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

P_loss = 300 + 150 = 450 W

答案

P_loss = 450 W

此负载下的效率为 η = 98.14%。

5.交流功率和功率因数

答案: Q = 14.03 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.65) = 49.46°, tan φ = 1.169

无功功率

Q = P·tan φ = 12·1.169 = 14.03 kvar

答案

Q = 14.03 kvar

6.交流功率和功率因数

答案: C = 53.05 µF

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

Z_L = Z_s* = 25 − j3 Ω

电容

X_C = 3 Ω → C = 1/(2π·1000·3) = 53.05 µF

答案

C = 53.05 µF

7.交流阻抗和相量

答案: I = 0.7913 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

I_R = V/R = 12/50 = 0.24 A

I_X = V/X_C = 12/15.92 = 0.754 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(I_R² + I_X²) = √(0.24² + 0.754²) = 0.7913 A

答案

I = 0.7913 A

8.交流阻抗和相量

答案: V_L = 137.5 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·4.7·10⁻⁶) = 1031 rad/s

I = V/R = 10/15 = 0.6667 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 1031·0.2 = 206.3 Ω

V_L = I·X_L = 0.6667·206.3 = 137.5 V

答案

V_L = 137.5 V

这是电源电压的 Q = 13.75 倍。

9.直流电机

答案: n₀ = 1528 rpm

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

空载转速

ω₀ = V/k = 120/0.75 = 160 rad/s

n₀ = 60·160/(2π) = 1528 rpm

答案

n₀ = 1528 rpm

10.直流电机

答案: n = 4807 rpm

减弱后的电机常数

k₂ = 0.7·0.12 = 0.084 V·s/rad

新的电枢电流

I_a = 0.48/0.084 = 5.714 A

新的转速

ω = (48 − 5.714·1)/0.084 = 503.4 rad/s → n = 4807 rpm

答案

n = 4807 rpm

弱磁就是直流驱动器在基速以上运行的方法。

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