三相电
- Y 联结
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 联结
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 总有功功率
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 视在功率和无功功率
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 补偿电容
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 每个电容上的电压
- Δ：VL Y：VL/√3
- 电动机输入
- Pin = Pout/η
电力系统与电机：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
变压器
- 匝数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 电流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 额定电流
- I = S/V
- 折算阻抗
- Z1′ = a²·ZL
- 部分负载时的铜损
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 效率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最高效率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流功率和功率因数
- 有功功率
- P = V·I·cos φ
- 无功功率
- Q = V·I·sin φ
- 视在功率
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 功率因数
- pf = cos φ = P/S
- 补偿电容
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
直流电机
- 电枢回路
- V = E + IaRa
- 反电动势与转矩
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速率
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 空载转速与堵转转矩
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 各功率
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 起动
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 转速调整率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大电磁功率
- Pmax = V²/(4Ra)
- 斩波驱动
- Va = D·Vdc
方法
- 画出电枢回路：电源 V、电阻 Ra 和反电动势 E 串联。
- 用 V = E + Ia·Ra 把电压、电流和反电动势联系起来。
- 转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·Ia，其中 ω = 2π·n/60。
- 对于功率和效率，从 V·Ia 出发，减去铜损 Ia²·Ra，再减去旋转损耗。
2练习题
1.三相电中等
一台三相感应电动机满载时输出机械功率 22 kW。此负载下其效率为 93%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。
Pout = 22 kWη = 93%cos φ = 0.82VL = 480 V
IL = A
2.三相电困难
一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 100 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。
P = 100 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.92VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.变压器中等
一台单相 150 kVA、480/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求高压绕组中的电流 IHV。
S = 150 kVAV1 = 480 VV2 = 240 V
IHV = A
4.变压器困难
一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 500 W。 在额定负载、功率因数为 0.95（滞后）时，其效率为 96.5%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。
S = 100 kVAPcore = 500 Wpf = 0.95η = 96.5%
Pcu,fl = W
5.交流功率和功率因数中等
一台单相电动机从 240 V 电源吸取 21 kW，功率因数为 0.75（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。
P = 21 kWpf = 0.75V = 240 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
一个 100 V（有效值）、60 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 25 + j5 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。
Vs = 100 V (rms)f = 60 HzZs = 25 + j5 Ω
Pmax = W
7.交流阻抗和相量中等
一个 C = 10 µF 的 RLC 串联电路必须在 60 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。
f0 = 60 HzC = 10 µF
L = mH
8.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 50 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。
V = 50 V (rms)f = 100 HzR1 = 50 ΩR2 = 50 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
9.直流电机中等
某直流电机在 3000 rpm 下输出 11 kW 的机械功率。求轴转矩 T。
P = 11 kWn = 3000 rpm
T = N·m
10.直流电机困难
某直流斩波器从 220 V 直流母线给电机（k = 0.75 V·s/rad，Ra = 1.2 Ω）供电。平均电枢电压为 D·220 V。求使电机在 4.5 N·m 负载下以 600 rpm 运转的占空比 D。
Vdc = 220 Vk = 0.75 V·s/radRa = 1.2 ΩT = 4.5 N·mn = 600 rpm
D = %
3溶液
1.三相电
答案: IL = 34.7 A
对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
电输入功率
Pin = Pout/η = 22/0.93 = 23.66 kW
线路电流
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 23656/(√3·480·0.82) = 34.7 A
答案
IL = 34.7 A
2.三相电
答案: Cph = 519.9 µF
对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。
补偿前后的无功功率
有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。
Q1 = 100·tan(acos 0.78) = 100·0.8023 = 80.23 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.92) = 100·0.426 = 42.6 kvar
电容提供的无功功率
QC = Q1 − Q2 = 37.63 kvar
每相电容
在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。
V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 12543/(314.2·277.1²) = 519.9 µF
答案
Cph = 519.9 µF
3.变压器
答案: IHV = 312.5 A
理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。
额定电流
两个绕组传输相同的视在功率。
IHV = S/V = 150000/480 = 312.5 A
答案
IHV = 312.5 A
4.变压器
答案: Pcu,fl = 2946 W
变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。
输出功率和输入功率
Pout = 100·0.95 = 95 kW
Pin = 95000/0.965 = 98446 W
总损耗和铜损
Ploss = 98446 − 95000 = 3446 W
Pcu,fl = 3446 − 500 = 2946 W
答案
Pcu,fl = 2946 W
5.交流功率和功率因数
答案: Q = 18.52 kvar
交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。
相角
φ = arccos(0.75) = 41.41°, tan φ = 0.8819
无功功率
Q = P·tan φ = 21·0.8819 = 18.52 kvar
答案
Q = 18.52 kvar
6.交流功率和功率因数
答案: Pmax = 100 W
交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。
共轭匹配
负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。
ZL = Zs* = 25 − j5 Ω
最大功率
I = Vs/(2Rs) = 100/50 = 2 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 100²/(4·25) = 100 W
答案
Pmax = 100 W
7.交流阻抗和相量
答案: L = 703.6 mH
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振条件
谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·10·10⁻⁶) = 703.6 mH
答案
L = 703.6 mH
8.交流阻抗和相量
答案: |Z| = 56.48 Ω
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 4.6 − j14.45 Ω
总阻抗
Z = 50 + 4.6 − j14.45 = 54.6 − j14.45 Ω
|Z| = √(54.6² + 14.45²) = 56.48 Ω
答案
|Z| = 56.48 Ω
9.直流电机
答案: T = 35.01 N·m
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
以 rad/s 表示的转速
ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
扭矩
T = P/ω = 11000/314.2 = 35.01 N·m
答案
T = 35.01 N·m
10.直流电机
答案: D = 24.69 %
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
所需电枢电压
Va = 0.75·62.83 + 6·1.2 = 54.32 V
占空比
D = 54.32/220 = 24.69 %
答案
D = 24.69 %
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