电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一个对称三相负载从线电压为 690 V 的电源取用 150 A 的线电流，功率因数为 0.85（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 690 VI_L = 150 Acos φ = 0.85

P = kW

2.三相电困难

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 60 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.92V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.变压器中等

一台输出电阻为 800 Ω 的放大器通过理想变压器驱动一个 8 Ω 的扬声器。为实现最大功率传输，从放大器看扬声器须相当于 800 Ω。求匝数比 a = N₁/N₂。

R_s = 800 ΩR_L = 8 Ω

a =

4.变压器困难

一台单相 500 kVA 变压器的铁损为 2500 W。在额定负载、功率因数为 0.9（滞后）时，其效率为 97%。求满载铜损 P_cu,fl，以 W 计。

S = 500 kVAP_core = 2500 Wpf = 0.9η = 97%

P_cu,fl = W

5.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 35 kW，功率因数为 0.9（滞后）。求线路电流 I。

P = 35 kWpf = 0.9V = 240 V

I = A

6.交流功率和功率因数困难

一个 230 V（有效值）、50 Hz 的电源具有内阻抗 Z_s = 2 + j3 Ω。负载阻抗 Z_L 可以自由选择。获得最大功率的负载由一个电阻与一个电容串联构成。求电容 C。

V_s = 230 V (rms)f = 50 HzZ_s = 2 + j3 Ω

C = µF

7.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 47 µF

φ = °

8.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 1 µF

I = A

9.直流电机中等

某直流电机从 48 V 电源吸取 6 A 电流。其电枢电阻为 0.25 Ω，旋转损耗（摩擦、风阻和铁损）为 11 W。求它的效率 η。

V = 48 VI_a = 6 AR_a = 0.25 ΩP_rot = 11 W

η = %

10.直流电机困难

某 110 V 直流电机的电枢电阻为 0.5 Ω。求把起动电流限制在 30 A 的串联起动电阻 R_st。

V = 110 VR_a = 0.5 ΩI_max = 30 A

R_st = Ω

3溶液

1.三相电

答案: P = 152.4 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

视在功率

S = √3·V_L·I_L = √3·690·150 = 179.3 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 179.3·0.85 = 152.4 kW

答案

P = 152.4 kW

2.三相电

答案: Q_C = 19.44 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 60·tan(acos 0.8) = 60·0.75 = 45 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0.92) = 60·0.426 = 25.56 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 19.44 kvar

答案

Q_C = 19.44 kvar

3.变压器

答案: a = 10

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

匹配折算负载

a²·8 = 800

a = √(800/8) = √100 = 10

答案

a = 10

4.变压器

答案: P_cu,fl = 11418 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

P_out = 500·0.9 = 450 kW

P_in = 450000/0.97 = 463918 W

总损耗和铜损

P_loss = 463918 − 450000 = 13918 W

P_cu,fl = 13918 − 2500 = 11418 W

答案

P_cu,fl = 11418 W

5.交流功率和功率因数

答案: I = 162 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 35000/(240·0.9) = 162 A

答案

I = 162 A

6.交流功率和功率因数

答案: C = 1061 µF

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

Z_L = Z_s* = 2 − j3 Ω

电容

X_C = 3 Ω → C = 1/(2π·50·3) = 1061 µF

答案

C = 1061 µF

7.交流阻抗和相量

答案: φ = −31.43 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−48.9)²) = 93.76 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−48.9/80) = −31.43°

答案

φ = −31.43°

8.交流阻抗和相量

答案: I = 0.01089 A

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.2 = 1257 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159.2 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (1097)²) = 1102 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 12/1102 = 0.01089 A

答案

I = 0.01089 A

9.直流电机

答案: η = 93.06 %

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

各功率

P_in = 48·6 = 288 W

P_dev = 46.5·6 = 279 W

P_out = 279 − 11 = 268 W

效率

η = 268/288·100 = 93.06 %

答案

η = 93.06 %

10.直流电机

答案: R_st = 3.167 Ω

总电阻

R_a + R_st = 110/30 = 3.667 Ω

起动电阻

R_st = 3.667 − 0.5 = 3.167 Ω

答案

R_st = 3.167 Ω

随着电机加速、反电动势增大，电阻被逐级切除。

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