电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 18.5 kW。此负载下其效率为 91%，功率因数为 0.8（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 I_L。

P_out = 18.5 kWη = 91%cos φ = 0.8V_L = 400 V

I_L = A

2.三相电困难

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 80 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.变压器中等

一个 8 Ω 的电阻接在匝数比 N₁:N₂ = 4:1 的理想变压器二次绕组两端。求从一次绕组看进去的电阻 R_1′。

N₁:N₂ = 4:1R_L = 8 Ω

R_1′ = Ω

4.变压器困难

一台单相 75 kVA 变压器的铁损为 375 W，额定负载下铜损为 750 W。它以 0.8（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 75%。求此负载下的总损耗 P_loss，以 W 计。

S = 75 kVAP_core = 375 WP_cu,fl = 750 Wx = 0.75pf = 0.8

P_loss = W

5.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 13 kW，功率因数为 0.9（滞后）。求线路电流 I。

P = 13 kWpf = 0.9V = 230 V

I = A

6.交流功率和功率因数困难

一个 12 V（有效值）、1000 Hz 的电源具有内阻抗 Z_s = 5 + j20 Ω。负载阻抗 Z_L 可以自由选择。求能传输给负载的最大有功功率 P_max。

V_s = 12 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 5 + j20 Ω

P_max = W

7.交流阻抗和相量中等

一个 C = 1 µF 的 RLC 串联电路必须在 200 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f₀ = 200 HzC = 1 µF

L = mH

8.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电容两端电压的有效值 V_C。

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 47 µF

V_C = V

9.直流电机中等

某直流电机的 k = 0.75 N·m/A，R_a = 1.5 Ω，接到 240 V 电源上。求它的堵转转矩 T_stall，即转速为零时的转矩。

V = 240 Vk = 0.75 N·m/AR_a = 1.5 Ω

T_stall = N·m

10.直流电机困难

某直流电机（k = 0.12 V·s/rad，R_a = 0.5 Ω）接在固定的 48 V 电源上，带动 1.2 N·m 的负载。求把转速降到 300 rpm 所需的串联电阻 R_s。

V = 48 Vk = 0.12 V·s/radR_a = 0.5 ΩT = 1.2 N·mn = 300 rpm

R_s = Ω

3溶液

1.三相电

答案: I_L = 36.68 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

电输入功率

P_in = P_out/η = 18.5/0.91 = 20.33 kW

线路电流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 20330/(√3·400·0.8) = 36.68 A

答案

I_L = 36.68 A

2.三相电

答案: Q_C = 54.78 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 80·tan(acos 0.65) = 80·1.169 = 93.53 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0.9) = 80·0.4843 = 38.75 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 54.78 kvar

答案

Q_C = 54.78 kvar

3.变压器

答案: R_1′ = 128 Ω

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

折算电阻

电压升高 a 倍，电流降低 a 倍，所以比值 V/I 增大 a² 倍。

R_1′ = a²·R_L = 4²·8 = 128 Ω

答案

R_1′ = 128 Ω

4.变压器

答案: P_loss = 796.9 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.5625·750 = 421.9 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

P_loss = 375 + 421.9 = 796.9 W

答案

P_loss = 796.9 W

此负载下的效率为 η = 98.26%。

5.交流功率和功率因数

答案: I = 62.8 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 13000/(230·0.9) = 62.8 A

答案

I = 62.8 A

6.交流功率和功率因数

答案: P_max = 7.2 W

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

Z_L = Z_s* = 5 − j20 Ω

最大功率

I = V_s/(2R_s) = 12/10 = 1.2 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 12²/(4·5) = 7.2 W

答案

P_max = 7.2 W

7.交流阻抗和相量

答案: L = 633.3 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·1·10⁻⁶) = 633.3 mH

答案

L = 633.3 mH

8.交流阻抗和相量

答案: V_C = 111.4 V

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−2.447)²) = 15.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/15.2 = 3.29 A

电容电压

V_C = I·X_C = 3.29·33.86 = 111.4 V

答案

V_C = 111.4 V

9.直流电机

答案: T_stall = 120 N·m

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

堵转电流

I_a = V/R_a = 240/1.5 = 160 A

堵转转矩

T_stall = 0.75·160 = 120 N·m

答案

T_stall = 120 N·m

10.直流电机

答案: R_s = 3.923 Ω

电流与反电动势

I_a = 1.2/0.12 = 10 A

E = 0.12·31.42 = 3.77 V

串联电阻

R_a + R_s = (48 − 3.77)/10 = 4.423 Ω

R_s = 3.923 Ω

答案

R_s = 3.923 Ω

该电阻消耗 392.3 W；斩波器调速的损耗要小得多。

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