电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一个对称三相负载从线电压为 480 V 的电源取用 100 A 的线电流，功率因数为 0.82（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 480 VI_L = 100 Acos φ = 0.82

P = kW

2.三相电困难

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 C_ph，以 µF 计。

P = 250 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.变压器中等

一台匝数比 N₁:N₂ = 4:1 的理想变压器，一次绕组加 960 V 电压。二次绕组两端接一个 24 Ω 的电阻。求一次电流 I₁。

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 960 VR_L = 24 Ω

I₁ = A

4.变压器困难

一台单相 25 kVA 变压器的铁损为 100 W。在额定负载、功率因数为 0.85（滞后）时，其效率为 98.8%。求满载铜损 P_cu,fl，以 W 计。

S = 25 kVAP_core = 100 Wpf = 0.85η = 98.8%

P_cu,fl = W

5.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 4 kW，功率因数为 0.75（滞后）。求线路电流 I。

P = 4 kWpf = 0.75V = 240 V

I = A

6.交流功率和功率因数困难

一台 100 kVA 的单相变压器为一个 28 kW、功率因数为 0.65（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

S_max = 100 kVAP₁ = 28 kWpf₁ = 0.65

ΔP = kW

7.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求从电源吸取的有功功率 P。

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 100 µF

P = W

8.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电容两端电压的有效值 V_C。

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 47 µF

V_C = V

9.直流电机中等

某直流电机从 240 V 电源吸取 12 A 电流。其电枢电阻为 0.8 Ω，旋转损耗（摩擦、风阻和铁损）为 83 W。求它的效率 η。

V = 240 VI_a = 12 AR_a = 0.8 ΩP_rot = 83 W

η = %

10.直流电机困难

某直流电机的 k = 2 V·s/rad，R_a = 2 Ω，要以 500 rpm 带动 24 N·m 的负载。求所需的电枢电压 V。

k = 2 V·s/radR_a = 2 ΩT = 24 N·mn = 500 rpm

V = V

3溶液

1.三相电

答案: P = 68.17 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

视在功率

S = √3·V_L·I_L = √3·480·100 = 83.14 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 83.14·0.82 = 68.17 kW

答案

P = 68.17 kW

2.三相电

答案: C_ph = 2903 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 250·tan(acos 0.65) = 250·1.169 = 292.3 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.95) = 250·0.3287 = 82.17 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 210.1 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 70037/(314.2·277.1²) = 2903 µF

答案

C_ph = 2903 µF

3.变压器

答案: I₁ = 2.5 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V₂ = 960/4 = 240 V

I₂ = 240/24 = 10 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/4 = 2.5 A

答案

I₁ = 2.5 A

验算：从一次侧看负载为 a²·R_L = 384 Ω，960/384 得到相同的电流。

4.变压器

答案: P_cu,fl = 158.1 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

P_out = 25·0.85 = 21.25 kW

P_in = 21250/0.988 = 21508 W

总损耗和铜损

P_loss = 21508 − 21250 = 258.1 W

P_cu,fl = 258.1 − 100 = 158.1 W

答案

P_cu,fl = 158.1 W

5.交流功率和功率因数

答案: I = 22.22 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 4000/(240·0.75) = 22.22 A

答案

I = 22.22 A

6.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 66.49 kW

现有负载的无功功率

Q₁ = 28·tan(arccos 0.65) = 32.74 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = S_max，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 32.74²) = 94.49 kW

增加的有功功率

ΔP = 94.49 − 28 = 66.49 kW

答案

ΔP = 66.49 kW

7.交流阻抗和相量

答案: P = 2.249 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 62.83 Ω, X_C = 31.83 Ω

阻抗

|Z| = √(40² + (31)²) = 50.61 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 12/50.61 = 0.2371 A

P = I²·R = 0.2371²·40 = 2.249 W

答案

P = 2.249 W

8.交流阻抗和相量

答案: V_C = 90.22 V

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−37.59)²) = 62.55 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/62.55 = 1.599 A

电容电压

V_C = I·X_C = 1.599·56.44 = 90.22 V

答案

V_C = 90.22 V

9.直流电机

答案: η = 93.12 %

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

各功率

P_in = 240·12 = 2880 W

P_dev = 230.4·12 = 2765 W

P_out = 2765 − 83 = 2682 W

效率

η = 2682/2880·100 = 93.12 %

答案

η = 93.12 %

10.直流电机

答案: V = 128.7 V

反电动势

E = 2·52.36 = 104.7 V

电枢电流

I_a = 24/2 = 12 A

电枢电压

V = 104.7 + 12·2 = 128.7 V

答案

V = 128.7 V

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