电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 15 kW。此负载下其效率为 93%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 690 V。求线电流 I_L。

P_out = 15 kWη = 93%cos φ = 0.82V_L = 690 V

I_L = A

2.三相电困难

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 300 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V_L = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.变压器中等

一台输出电阻为 18 Ω 的放大器通过理想变压器驱动一个 2 Ω 的扬声器。为实现最大功率传输，从放大器看扬声器须相当于 18 Ω。求匝数比 a = N₁/N₂。

R_s = 18 ΩR_L = 2 Ω

a =

4.变压器困难

一台单相 75 kVA 变压器的铁损为 450 W，额定负载下铜损为 1350 W。在多大负载 S_η,max（以 kVA 计）时其效率最高？

S = 75 kVAP_core = 450 WP_cu,fl = 1350 W

S_η,max = kVA

5.交流功率和功率因数中等

一个阻抗为 Z = 20 + j15 Ω 的负载接在 120 V（有效值）的单相电源上。求它吸收的无功功率 Q。

V = 120 VZ = 20 + j15 Ω

Q = var

6.交流功率和功率因数困难

一个 12 V（有效值）、60 Hz 的电源具有内阻抗 Z_s = 20 + j20 Ω。负载阻抗 Z_L 可以自由选择。求能传输给负载的最大有功功率 P_max。

V_s = 12 V (rms)f = 60 HzZ_s = 20 + j20 Ω

P_max = W

7.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 100 µF

φ = °

8.交流阻抗和相量困难

电阻 R₁ 与 R₂ 和电容 C 的并联组合串联，接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 150 ΩC = 4.7 µF

I = A

9.直流电机中等

某直流电机（k = 0.75 N·m/A，R_a = 2 Ω）由 220 V 供电，带动 4.5 N·m 的负载转矩。求它的转速 n，单位为 rpm。

V = 220 Vk = 0.75 N·m/AR_a = 2 ΩT = 4.5 N·m

n = rpm

10.直流电机困难

某直流电机（k = 1.5 V·s/rad，R_a = 0.2 Ω）接在固定的 240 V 电源上，带动 60 N·m 的负载。求把转速降到 300 rpm 所需的串联电阻 R_s。

V = 240 Vk = 1.5 V·s/radR_a = 0.2 ΩT = 60 N·mn = 300 rpm

R_s = Ω

3溶液

1.三相电

答案: I_L = 16.46 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

电输入功率

P_in = P_out/η = 15/0.93 = 16.13 kW

线路电流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 16129/(√3·690·0.82) = 16.46 A

答案

I_L = 16.46 A

2.三相电

答案: Q_C = 205.4 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 300·tan(acos 0.65) = 300·1.169 = 350.7 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0.9) = 300·0.4843 = 145.3 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 205.4 kvar

答案

Q_C = 205.4 kvar

3.变压器

答案: a = 3

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

匹配折算负载

a²·2 = 18

a = √(18/2) = √9 = 3

答案

a = 3

4.变压器

答案: S_η,max = 43.3 kVA

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

铜损等于铁损

x²·1350 = 450 → x = √(450/1350) = 0.5774

最高效率时的负载

S_η,max = x·S = 0.5774·75 = 43.3 kVA

答案

S_η,max = 43.3 kVA

5.交流功率和功率因数

答案: Q = 345.6 var

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 120/25 = 4.8 A

无功功率

Q = I²·X = 4.8²·15 = 345.6 var

答案

Q = 345.6 var

6.交流功率和功率因数

答案: P_max = 1.8 W

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

Z_L = Z_s* = 20 − j20 Ω

最大功率

I = V_s/(2R_s) = 12/40 = 0.3 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 12²/(4·20) = 1.8 W

答案

P_max = 1.8 W

7.交流阻抗和相量

答案: φ = 79.16 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.15 = 94.25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (78.33)²) = 79.76 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(78.33/15) = 79.16°

答案

φ = 79.16°

8.交流阻抗和相量

答案: I = 1.321 A

电抗

X_C = 1/(2π·60·4.7·10⁻⁶) = 564.4 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Z_p 分成实部和虚部。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 140.1 − j37.24 Ω

总阻抗

Z = 30 + 140.1 − j37.24 = 170.1 − j37.24 Ω

|Z| = √(170.1² + 37.24²) = 174.1 Ω

电流

I = V/|Z| = 230/174.1 = 1.321 A

答案

I = 1.321 A

9.直流电机

答案: n = 2648 rpm

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

电枢电流

I_a = T/k = 4.5/0.75 = 6 A

反电动势与转速

E = 220 − 6·2 = 208 V

ω = E/k = 277.3 rad/s → n = 2648 rpm

答案

n = 2648 rpm

10.直流电机

答案: R_s = 4.622 Ω

电流与反电动势

I_a = 60/1.5 = 40 A

E = 1.5·31.42 = 47.12 V

串联电阻

R_a + R_s = (240 − 47.12)/40 = 4.822 Ω

R_s = 4.622 Ω

答案

R_s = 4.622 Ω

该电阻消耗 7395 W；斩波器调速的损耗要小得多。

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