电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 55 kW。此负载下其效率为 95%，功率因数为 0.88（滞后）。电源线电压为 415 V。求线电流 I_L。

P_out = 55 kWη = 95%cos φ = 0.88V_L = 415 V

I_L = A

2.三相电困难

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 C_ph，以 µF 计。

P = 60 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.变压器中等

一个 8 Ω 的电阻接在匝数比 N₁:N₂ = 4:1 的理想变压器二次绕组两端。求从一次绕组看进去的电阻 R_1′。

N₁:N₂ = 4:1R_L = 8 Ω

R_1′ = Ω

4.变压器困难

一台单相 50 kVA 变压器的铁损为 300 W，额定负载下铜损为 1200 W。它以 0.8（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 50%。求此负载下的总损耗 P_loss，以 W 计。

S = 50 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 1200 Wx = 0.5pf = 0.8

P_loss = W

5.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 4 kW，功率因数为 0.6（滞后）。求它吸收的无功功率 Q。

P = 4 kWpf = 0.6V = 400 V

Q = kvar

6.交流功率和功率因数困难

一个 12 V（有效值）、50 Hz 的电源具有内阻抗 Z_s = 50 + j40 Ω。负载阻抗 Z_L 可以自由选择。求能传输给负载的最大有功功率 P_max。

V_s = 12 V (rms)f = 50 HzZ_s = 50 + j40 Ω

P_max = W

7.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求从电源吸取的有功功率 P。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 47 µF

P = W

8.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF

I = A

9.直流电机中等

某直流电机的 k = 1.5 N·m/A，R_a = 1.5 Ω，接到 220 V 电源上。求它的堵转转矩 T_stall，即转速为零时的转矩。

V = 220 Vk = 1.5 N·m/AR_a = 1.5 Ω

T_stall = N·m

10.直流电机困难

某直流电机的 k = 1.2 V·s/rad，R_a = 1.5 Ω，要以 1000 rpm 带动 7.2 N·m 的负载。求所需的电枢电压 V。

k = 1.2 V·s/radR_a = 1.5 ΩT = 7.2 N·mn = 1000 rpm

V = V

3溶液

1.三相电

答案: I_L = 91.53 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

电输入功率

P_in = P_out/η = 55/0.95 = 57.89 kW

线路电流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 57895/(√3·415·0.88) = 91.53 A

答案

I_L = 91.53 A

2.三相电

答案: C_ph = 639 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 60·tan(acos 0.7) = 60·1.02 = 61.21 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0.95) = 60·0.3287 = 19.72 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 41.49 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13830/(377·239.6²) = 639 µF

答案

C_ph = 639 µF

3.变压器

答案: R_1′ = 128 Ω

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

折算电阻

电压升高 a 倍，电流降低 a 倍，所以比值 V/I 增大 a² 倍。

R_1′ = a²·R_L = 4²·8 = 128 Ω

答案

R_1′ = 128 Ω

4.变压器

答案: P_loss = 600 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.25·1200 = 300 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

P_loss = 300 + 300 = 600 W

答案

P_loss = 600 W

此负载下的效率为 η = 97.09%。

5.交流功率和功率因数

答案: Q = 5.333 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333

无功功率

Q = P·tan φ = 4·1.333 = 5.333 kvar

答案

Q = 5.333 kvar

6.交流功率和功率因数

答案: P_max = 0.72 W

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

Z_L = Z_s* = 50 − j40 Ω

最大功率

I = V_s/(2R_s) = 12/100 = 0.12 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 12²/(4·50) = 0.72 W

答案

P_max = 0.72 W

7.交流阻抗和相量

答案: P = 56.45 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 62.83 Ω, X_C = 6.773 Ω

阻抗

|Z| = √(20² + (56.06)²) = 59.52 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 100/59.52 = 1.68 A

P = I²·R = 1.68²·20 = 56.45 W

答案

P = 56.45 W

8.交流阻抗和相量

答案: I = 1.533 A

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (28.97)²) = 32.62 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/32.62 = 1.533 A

答案

I = 1.533 A

9.直流电机

答案: T_stall = 220 N·m

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

堵转电流

I_a = V/R_a = 220/1.5 = 146.7 A

堵转转矩

T_stall = 1.5·146.7 = 220 N·m

答案

T_stall = 220 N·m

10.直流电机

答案: V = 134.7 V

反电动势

E = 1.2·104.7 = 125.7 V

电枢电流

I_a = 7.2/1.2 = 6 A

电枢电压

V = 125.7 + 6·1.5 = 134.7 V

答案

V = 134.7 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems