电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一个每相阻抗为 3 + j4 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 480 V 的对称三相电源上。求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 480 VZ = 3 + j4 Ω 每相

P = kW

2.三相电困难

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 120 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 120 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.变压器中等

一台匝数比 N₁:N₂ = 4:1 的理想变压器，一次绕组加 480 V 电压。二次绕组两端接一个 8 Ω 的电阻。求一次电流 I₁。

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 480 VR_L = 8 Ω

I₁ = A

4.变压器困难

一台单相 25 kVA 变压器的铁损为 75 W，额定负载下铜损为 225 W。在多大负载 S_η,max（以 kVA 计）时其效率最高？

S = 25 kVAP_core = 75 WP_cu,fl = 225 W

S_η,max = kVA

5.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 28 kW，功率因数为 0.75（滞后）。求它吸收的无功功率 Q。

P = 28 kWpf = 0.75V = 400 V

Q = kvar

6.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 230 V、50 Hz 电源吸取 50 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。求电容需提供的无功功率 Q_C。

P = 50 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V = 230 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 22 µF

φ = °

8.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 10 µF

V_L = V

9.直流电机中等

某直流电机（k = 0.12 N·m/A，R_a = 0.8 Ω）由 24 V 供电，带动 0.24 N·m 的负载转矩。求它的转速 n，单位为 rpm。

V = 24 Vk = 0.12 N·m/AR_a = 0.8 ΩT = 0.24 N·m

n = rpm

10.直流电机困难

某直流电机（k = 0.3 V·s/rad，R_a = 0.8 Ω）接在固定的 120 V 电源上，带动 1.5 N·m 的负载。求把转速降到 500 rpm 所需的串联电阻 R_s。

V = 120 Vk = 0.3 V·s/radR_a = 0.8 ΩT = 1.5 N·mn = 500 rpm

R_s = Ω

3溶液

1.三相电

答案: P = 82.94 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

相电压

V_ph = V_L = 480 V

相电流

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω

I_ph = 480/5 = 96 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·I_ph²·R = 3·96²·3 = 82.94 kW

答案

P = 82.94 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·V_L·I_L·cos φ 得到相同的功率。

2.三相电

答案: Q_C = 115.9 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 120·tan(acos 0.65) = 120·1.169 = 140.3 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 115.9 kvar

答案

Q_C = 115.9 kvar

3.变压器

答案: I₁ = 3.75 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V₂ = 480/4 = 120 V

I₂ = 120/8 = 15 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/4 = 3.75 A

答案

I₁ = 3.75 A

验算：从一次侧看负载为 a²·R_L = 128 Ω，480/128 得到相同的电流。

4.变压器

答案: S_η,max = 14.43 kVA

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

铜损等于铁损

x²·225 = 75 → x = √(75/225) = 0.5774

最高效率时的负载

S_η,max = x·S = 0.5774·25 = 14.43 kVA

答案

S_η,max = 14.43 kVA

5.交流功率和功率因数

答案: Q = 24.69 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.75) = 41.41°, tan φ = 0.8819

无功功率

Q = P·tan φ = 28·0.8819 = 24.69 kvar

答案

Q = 24.69 kvar

6.交流功率和功率因数

答案: Q_C = 34.24 kvar

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(49.46°) = 58.46 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(25.84°) = 24.22 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 34.24 kvar

答案

Q_C = 34.24 kvar

7.交流阻抗和相量

答案: φ = −81.26 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−97.56)²) = 98.71 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−97.56/15) = −81.26°

答案

φ = −81.26°

8.交流阻抗和相量

答案: V_L = 11.18 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·10·10⁻⁶) = 4472 rad/s

I = V/R = 5/10 = 0.5 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 4472·0.005 = 22.36 Ω

V_L = I·X_L = 0.5·22.36 = 11.18 V

答案

V_L = 11.18 V

这是电源电压的 Q = 2.236 倍。

9.直流电机

答案: n = 1783 rpm

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

电枢电流

I_a = T/k = 0.24/0.12 = 2 A

反电动势与转速

E = 24 − 2·0.8 = 22.4 V

ω = E/k = 186.7 rad/s → n = 1783 rpm

答案

n = 1783 rpm

10.直流电机

答案: R_s = 20.06 Ω

电流与反电动势

I_a = 1.5/0.3 = 5 A

E = 0.3·52.36 = 15.71 V

串联电阻

R_a + R_s = (120 − 15.71)/5 = 20.86 Ω

R_s = 20.06 Ω

答案

R_s = 20.06 Ω

该电阻消耗 501.5 W；斩波器调速的损耗要小得多。

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