三相电
- Y 联结
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 联结
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 总有功功率
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 视在功率和无功功率
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 补偿电容
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 每个电容上的电压
- Δ：VL Y：VL/√3
- 电动机输入
- Pin = Pout/η
电力系统与电机：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
变压器
- 匝数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 电流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 额定电流
- I = S/V
- 折算阻抗
- Z1′ = a²·ZL
- 部分负载时的铜损
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 效率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最高效率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流功率和功率因数
- 有功功率
- P = V·I·cos φ
- 无功功率
- Q = V·I·sin φ
- 视在功率
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 功率因数
- pf = cos φ = P/S
- 补偿电容
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
直流电机
- 电枢回路
- V = E + IaRa
- 反电动势与转矩
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速率
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 空载转速与堵转转矩
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 各功率
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 起动
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 转速调整率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大电磁功率
- Pmax = V²/(4Ra)
- 斩波驱动
- Va = D·Vdc
方法
- 画出电枢回路：电源 V、电阻 Ra 和反电动势 E 串联。
- 用 V = E + Ia·Ra 把电压、电流和反电动势联系起来。
- 转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·Ia，其中 ω = 2π·n/60。
- 对于功率和效率，从 V·Ia 出发，减去铜损 Ia²·Ra，再减去旋转损耗。
2练习题
1.三相电中等
一个每相阻抗为 24 + j18 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 415 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。
VL = 415 VZ = 24 + j18 Ω 每相
P = kW
2.三相电困难
一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。
P = 250 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.变压器中等
一台单相 500 kVA、4160/480 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求高压绕组中的电流 IHV。
S = 500 kVAV1 = 4160 VV2 = 480 V
IHV = A
4.变压器困难
一台单相 500 kVA 变压器的铁损为 1500 W，额定负载下铜损为 3750 W。 在多大负载 Sη,max（以 kVA 计）时其效率最高？
S = 500 kVAPcore = 1500 WPcu,fl = 3750 W
Sη,max = kVA
5.交流功率和功率因数中等
一台单相电动机从 400 V 电源吸取 20 kW，功率因数为 0.9（滞后）。 求线路电流 I。
P = 20 kWpf = 0.9V = 400 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
一台 150 kVA 的单相变压器为一个 72 kW、功率因数为 0.8（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？
Smax = 150 kVAP1 = 72 kWpf1 = 0.8
ΔP = kW
7.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 47 µF
I = A
8.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 100 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 100 V (rms)f = 100 HzR1 = 10 ΩR2 = 80 ΩC = 22 µF
I = A
9.直流电机中等
某直流电机（k = 0.75 V·s/rad，Ra = 1 Ω）由 120 V 供电。满载时电流为 6 A。忽略空载电流，求它的转速调整率 SR = (n₀ − nFL)/nFL，以百分数表示。
V = 120 Vk = 0.75 V·s/radRa = 1 ΩIFL = 6 A
SR = %
10.直流电机困难
某小型直流电机的电枢电阻为 2 Ω，由 24 V 供电。忽略旋转损耗，求它在任何转速下能产生的最大机械功率 Pmax。
V = 24 VRa = 2 Ω
Pmax = W
3溶液
1.三相电
答案: P = 13.78 kW
对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相电压
Vph = VL = 415 V
相电流
|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 415/30 = 13.83 A
总有功功率
只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。
P = 3·Iph²·R = 3·13.83²·24 = 13.78 kW
答案
P = 13.78 kW
验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。
2.三相电
答案: Cph = 444.1 µF
对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。
补偿前后的无功功率
有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。
Q1 = 250·tan(acos 0.8) = 250·0.75 = 187.5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.9) = 250·0.4843 = 121.1 kvar
电容提供的无功功率
QC = Q1 − Q2 = 66.42 kvar
每相电容
在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。
V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 22140/(314.2·398.4²) = 444.1 µF
答案
Cph = 444.1 µF
3.变压器
答案: IHV = 120.2 A
理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。
额定电流
两个绕组传输相同的视在功率。
IHV = S/V = 500000/4160 = 120.2 A
答案
IHV = 120.2 A
4.变压器
答案: Sη,max = 316.2 kVA
变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。
铜损等于铁损
x²·3750 = 1500 → x = √(1500/3750) = 0.6325
最高效率时的负载
Sη,max = x·S = 0.6325·500 = 316.2 kVA
答案
Sη,max = 316.2 kVA
5.交流功率和功率因数
答案: I = 55.56 A
交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。
线路电流
只有有功部分做功，所以要除以功率因数。
I = P/(V·cos φ) = 20000/(400·0.9) = 55.56 A
答案
I = 55.56 A
6.交流功率和功率因数
答案: ΔP = 67.94 kW
交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。
现有负载的无功功率
Q1 = 72·tan(arccos 0.8) = 54 kvar
最大总有功功率
满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 54²) = 139.9 kW
增加的有功功率
ΔP = 139.9 − 72 = 67.94 kW
答案
ΔP = 67.94 kW
7.交流阻抗和相量
答案: I = 2.841 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (28.97)²) = 35.2 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 100/35.2 = 2.841 A
答案
I = 2.841 A
8.交流阻抗和相量
答案: I = 1.644 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 35.99 − j39.8 Ω
总阻抗
Z = 10 + 35.99 − j39.8 = 45.99 − j39.8 Ω
|Z| = √(45.99² + 39.8²) = 60.82 Ω
电流
I = V/|Z| = 100/60.82 = 1.644 A
答案
I = 1.644 A
9.直流电机
答案: SR = 5.263 %
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
空载转速和满载转速
n₀ = 60·120/(2π·0.75) = 1528 rpm
nFL = 60·(120 − 6·1)/(2π·0.75) = 1451 rpm
转速调整率
SR = (1528 − 1451)/1451·100 = 5.263 %
答案
SR = 5.263 %
10.直流电机
答案: Pmax = 72 W
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
功率与反电动势的关系
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V
最大功率
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 24²/(4·2) = 72 W
答案
Pmax = 72 W
此时效率只有 50 %，所以实际电机运行时远高于半速。
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