电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一个每相阻抗为 4 + j3 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 415 V 的对称三相电源上。求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 415 VZ = 4 + j3 Ω 每相

P = kW

2.三相电困难

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 C_ph，以 µF 计。

P = 80 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.98V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.变压器中等

一台单相 50 kVA、2400/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求高压绕组中的电流 I_HV。

S = 50 kVAV₁ = 2400 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.变压器困难

一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 800 W，额定负载下铜损为 2000 W。在多大负载 S_η,max（以 kVA 计）时其效率最高？

S = 100 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2000 W

S_η,max = kVA

5.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 15 kW，功率因数为 0.7（滞后）。求线路电流 I。

P = 15 kWpf = 0.7V = 400 V

I = A

6.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 230 V、60 Hz 电源吸取 20 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。求所需电容 C。

P = 20 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.95V = 230 Vf = 60 Hz

C = µF

7.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF

I = A

8.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

9.直流电机中等

某直流电机的 k = 0.12 N·m/A，R_a = 1.5 Ω，接到 48 V 电源上。求它的堵转转矩 T_stall，即转速为零时的转矩。

V = 48 Vk = 0.12 N·m/AR_a = 1.5 Ω

T_stall = N·m

10.直流电机困难

某 48 V 直流电机的电枢电阻为 1.5 Ω。求把起动电流限制在 20 A 的串联起动电阻 R_st。

V = 48 VR_a = 1.5 ΩI_max = 20 A

R_st = Ω

3溶液

1.三相电

答案: P = 27.56 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

相电压

V_ph = 415/√3 = 239.6 V

相电流

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I_ph = 239.6/5 = 47.92 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·I_ph²·R = 3·47.92²·4 = 27.56 kW

答案

P = 27.56 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·V_L·I_L·cos φ 得到相同的功率。

2.三相电

答案: C_ph = 750.3 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 80·tan(acos 0.75) = 80·0.8819 = 70.55 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0.98) = 80·0.2031 = 16.24 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 54.31 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 18103/(314.2·277.1²) = 750.3 µF

答案

C_ph = 750.3 µF

3.变压器

答案: I_HV = 20.83 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

I_HV = S/V = 50000/2400 = 20.83 A

答案

I_HV = 20.83 A

4.变压器

答案: S_η,max = 63.25 kVA

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

铜损等于铁损

x²·2000 = 800 → x = √(800/2000) = 0.6325

最高效率时的负载

S_η,max = x·S = 0.6325·100 = 63.25 kVA

答案

S_η,max = 63.25 kVA

5.交流功率和功率因数

答案: I = 53.57 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 15000/(400·0.7) = 53.57 A

答案

I = 53.57 A

6.交流功率和功率因数

答案: C = 693.5 µF

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(45.57°) = 20.4 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(18.19°) = 6.574 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 13.83 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = Q_C/(2πf·V²) = 13830/(2π·60·230²) = 693.5 µF

答案

C = 693.5 µF

7.交流阻抗和相量

答案: I = 0.4045 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (246.4)²) = 247.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/247.2 = 0.4045 A

答案

I = 0.4045 A

8.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 50.33 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.1·100·10⁻⁶)) = 50.33 Hz

答案

f₀ = 50.33 Hz

9.直流电机

答案: T_stall = 3.84 N·m

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

堵转电流

I_a = V/R_a = 48/1.5 = 32 A

堵转转矩

T_stall = 0.12·32 = 3.84 N·m

答案

T_stall = 3.84 N·m

10.直流电机

答案: R_st = 0.9 Ω

总电阻

R_a + R_st = 48/20 = 2.4 Ω

起动电阻

R_st = 2.4 − 1.5 = 0.9 Ω

答案

R_st = 0.9 Ω

随着电机加速、反电动势增大，电阻被逐级切除。

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