电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一个每相阻抗为 24 + j18 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 415 V 的对称三相电源上。求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 415 VZ = 24 + j18 Ω 每相

P = kW

2.三相电困难

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 50 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.9V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.变压器中等

一台匝数比 N₁:N₂ = 4:1 的理想变压器，一次绕组加 920 V 电压。二次绕组两端接一个 12 Ω 的电阻。求一次电流 I₁。

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 920 VR_L = 12 Ω

I₁ = A

4.变压器困难

一台单相 25 kVA 变压器的铁损为 75 W。在额定负载、功率因数为 0.95（滞后）时，其效率为 98.2%。求满载铜损 P_cu,fl，以 W 计。

S = 25 kVAP_core = 75 Wpf = 0.95η = 98.2%

P_cu,fl = W

5.交流功率和功率因数中等

两个负载并联接在 230 V 的单相电源上：一个 8 kW、功率因数为 0.7（滞后）的负载，以及一个 19 kW、功率因数为 0.8（滞后）的负载。求从电源吸取的总电流 I。

V = 230 VP₁ = 8 kW, pf₁ = 0.7 滞后P₂ = 19 kW, pf₂ = 0.8 滞后

I = A

6.交流功率和功率因数困难

一个 10 V（有效值）、50 Hz 的电源具有内阻抗 Z_s = 20 + j30 Ω。负载阻抗 Z_L 可以自由选择。求能传输给负载的最大有功功率 P_max。

V_s = 10 V (rms)f = 50 HzZ_s = 20 + j30 Ω

P_max = W

7.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 22 µF

φ = °

8.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

9.直流电机中等

某直流电机在 960 rpm 下输出 11 kW 的机械功率。求轴转矩 T。

P = 11 kWn = 960 rpm

T = N·m

10.直流电机困难

某直流电机的 k = 1 V·s/rad，R_a = 0.5 Ω，要以 900 rpm 带动 15 N·m 的负载。求所需的电枢电压 V。

k = 1 V·s/radR_a = 0.5 ΩT = 15 N·mn = 900 rpm

V = V

3溶液

1.三相电

答案: P = 13.78 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

相电压

V_ph = V_L = 415 V

相电流

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω

I_ph = 415/30 = 13.83 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·I_ph²·R = 3·13.83²·24 = 13.78 kW

答案

P = 13.78 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·V_L·I_L·cos φ 得到相同的功率。

2.三相电

答案: Q_C = 23.98 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 50·tan(acos 0.72) = 50·0.9639 = 48.19 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0.9) = 50·0.4843 = 24.22 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 23.98 kvar

答案

Q_C = 23.98 kvar

3.变压器

答案: I₁ = 4.792 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V₂ = 920/4 = 230 V

I₂ = 230/12 = 19.17 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/4 = 4.792 A

答案

I₁ = 4.792 A

验算：从一次侧看负载为 a²·R_L = 192 Ω，920/192 得到相同的电流。

4.变压器

答案: P_cu,fl = 360.3 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

P_out = 25·0.95 = 23.75 kW

P_in = 23750/0.982 = 24185 W

总损耗和铜损

P_loss = 24185 − 23750 = 435.3 W

P_cu,fl = 435.3 − 75 = 360.3 W

答案

P_cu,fl = 360.3 W

5.交流功率和功率因数

答案: I = 152.6 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q₁ = 8·tan(arccos 0.7) = 8.162 kvar

Q₂ = 19·tan(arccos 0.8) = 14.25 kvar

总计

P = 8 + 19 = 27 kW

Q = 8.162 + 14.25 = 22.41 kvar

S = √(27² + 22.41²) = 35.09 kVA

总电流

I = S/V = 35090/230 = 152.6 A

答案

I = 152.6 A

6.交流功率和功率因数

答案: P_max = 1.25 W

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

Z_L = Z_s* = 20 − j30 Ω

最大功率

I = V_s/(2R_s) = 10/40 = 0.25 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 10²/(4·20) = 1.25 W

答案

P_max = 1.25 W

7.交流阻抗和相量

答案: φ = −10.77 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−9.511)²) = 50.9 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−9.511/50) = −10.77°

答案

φ = −10.77°

8.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 239.9 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·22·10⁻⁶)) = 239.9 Hz

答案

f₀ = 239.9 Hz

9.直流电机

答案: T = 109.4 N·m

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

以 rad/s 表示的转速

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

扭矩

T = P/ω = 11000/100.5 = 109.4 N·m

答案

T = 109.4 N·m

10.直流电机

答案: V = 101.7 V

反电动势

E = 1·94.25 = 94.25 V

电枢电流

I_a = 15/1 = 15 A

电枢电压

V = 94.25 + 15·0.5 = 101.7 V

答案

V = 101.7 V

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