三相电
- Y 联结
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 联结
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 总有功功率
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 视在功率和无功功率
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 补偿电容
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 每个电容上的电压
- Δ：VL Y：VL/√3
- 电动机输入
- Pin = Pout/η
电力系统与电机：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
变压器
- 匝数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 电流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 额定电流
- I = S/V
- 折算阻抗
- Z1′ = a²·ZL
- 部分负载时的铜损
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 效率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最高效率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流功率和功率因数
- 有功功率
- P = V·I·cos φ
- 无功功率
- Q = V·I·sin φ
- 视在功率
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 功率因数
- pf = cos φ = P/S
- 补偿电容
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
直流电机
- 电枢回路
- V = E + IaRa
- 反电动势与转矩
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速率
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 空载转速与堵转转矩
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 各功率
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 起动
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 转速调整率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大电磁功率
- Pmax = V²/(4Ra)
- 斩波驱动
- Va = D·Vdc
方法
- 画出电枢回路：电源 V、电阻 Ra 和反电动势 E 串联。
- 用 V = E + Ia·Ra 把电压、电流和反电动势联系起来。
- 转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·Ia，其中 ω = 2π·n/60。
- 对于功率和效率，从 V·Ia 出发，减去铜损 Ia²·Ra，再减去旋转损耗。
2练习题
1.三相电中等
一个每相阻抗为 24 + j7 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 208 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。
VL = 208 VZ = 24 + j7 Ω 每相
P = kW
2.三相电困难
一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 100 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。
P = 100 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.变压器中等
一台单相 75 kVA、7200/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求低压绕组中的电流 ILV。
S = 75 kVAV1 = 7200 VV2 = 240 V
ILV = A
4.变压器困难
一台单相 200 kVA 变压器的铁损为 1000 W，额定负载下铜损为 4000 W。 在多大负载 Sη,max（以 kVA 计）时其效率最高？
S = 200 kVAPcore = 1000 WPcu,fl = 4000 W
Sη,max = kVA
5.交流功率和功率因数中等
一台单相电动机从 240 V 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.85（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。
P = 10 kWpf = 0.85V = 240 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
一个 120 V（有效值）、60 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 2 + j20 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。
Vs = 120 V (rms)f = 60 HzZs = 2 + j20 Ω
Pmax = W
7.交流阻抗和相量中等
一个电阻和一个电感并联接在 12 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 20 mH
I = A
8.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。
V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 22 µF
f0 = Hz
9.直流电机中等
某直流电机（k = 0.25 N·m/A，Ra = 0.5 Ω）由 24 V 供电，带动 1.5 N·m 的负载转矩。求它的转速 n，单位为 rpm。
V = 24 Vk = 0.25 N·m/ARa = 0.5 ΩT = 1.5 N·m
n = rpm
10.直流电机困难
某他励直流电机由 110 V 供电（Ra = 1 Ω），在 1500 rpm 下运转，电枢电流为 10 A。负载变化后电流变为 4 A，励磁不变。求新的转速 n2。
V = 110 VRa = 1 Ωn1 = 1500 rpmIa1 = 10 AIa2 = 4 A
n2 = rpm
3溶液
1.三相电
答案: P = 1.661 kW
对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相电压
Vph = 208/√3 = 120.1 V
相电流
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 120.1/25 = 4.804 A
总有功功率
只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。
P = 3·Iph²·R = 3·4.804²·24 = 1.661 kW
答案
P = 1.661 kW
验算：cos φ = R/|Z| = 0.96，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。
2.三相电
答案: QC = 81.71 kvar
对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。
补偿前后的无功功率
有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。
Q1 = 100·tan(acos 0.7) = 100·1.02 = 102 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.98) = 100·0.2031 = 20.31 kvar
电容提供的无功功率
QC = Q1 − Q2 = 81.71 kvar
答案
QC = 81.71 kvar
3.变压器
答案: ILV = 312.5 A
理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。
额定电流
两个绕组传输相同的视在功率。
ILV = S/V = 75000/240 = 312.5 A
答案
ILV = 312.5 A
4.变压器
答案: Sη,max = 100 kVA
变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。
铜损等于铁损
x²·4000 = 1000 → x = √(1000/4000) = 0.5
最高效率时的负载
Sη,max = x·S = 0.5·200 = 100 kVA
答案
Sη,max = 100 kVA
5.交流功率和功率因数
答案: Q = 6.197 kvar
交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。
相角
φ = arccos(0.85) = 31.79°, tan φ = 0.6197
无功功率
Q = P·tan φ = 10·0.6197 = 6.197 kvar
答案
Q = 6.197 kvar
6.交流功率和功率因数
答案: Pmax = 1800 W
交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。
共轭匹配
负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。
ZL = Zs* = 2 − j20 Ω
最大功率
I = Vs/(2Rs) = 120/4 = 30 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 120²/(4·2) = 1800 W
答案
Pmax = 1800 W
7.交流阻抗和相量
答案: I = 0.3556 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = ωL = 2π·500·0.02 = 62.83 Ω
支路电流
两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。
IR = V/R = 12/40 = 0.3 A
IX = V/XL = 12/62.83 = 0.191 A
总电流
电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。
I = √(IR² + IX²) = √(0.3² + 0.191²) = 0.3556 A
答案
I = 0.3556 A
8.交流阻抗和相量
答案: f0 = 239.9 Hz
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·22·10⁻⁶)) = 239.9 Hz
答案
f0 = 239.9 Hz
9.直流电机
答案: n = 802.1 rpm
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
电枢电流
Ia = T/k = 1.5/0.25 = 6 A
反电动势与转速
E = 24 − 6·0.5 = 21 V
ω = E/k = 84 rad/s → n = 802.1 rpm
答案
n = 802.1 rpm
10.直流电机
答案: n2 = 1590 rpm
直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。
变化前后的反电动势
E1 = 110 − 10·1 = 100 V
E2 = 110 − 4·1 = 106 V
新的转速
n2 = 1500·106/100 = 1590 rpm
答案
n2 = 1590 rpm
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