电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 45 kW。此负载下其效率为 90%，功率因数为 0.84（滞后）。电源线电压为 415 V。求线电流 I_L。

P_out = 45 kWη = 90%cos φ = 0.84V_L = 415 V

I_L = A

2.三相电困难

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 250 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.变压器中等

一台单相 150 kVA、7200/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求低压绕组中的电流 I_LV。

S = 150 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.变压器困难

一台单相 150 kVA 变压器的铁损为 600 W，额定负载下铜损为 900 W。它以 0.85（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 50%。求此负载下的总损耗 P_loss，以 W 计。

S = 150 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 900 Wx = 0.5pf = 0.85

P_loss = W

5.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 35 kW，功率因数为 0.8（滞后）。求线路电流 I。

P = 35 kWpf = 0.8V = 230 V

I = A

6.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 240 V、60 Hz 的电源吸取 4 kW，功率因数为 0.6（滞后）。一个 100 µF 的电容与负载并联。求新的线路电流 I。

P = 4 kWpf₁ = 0.6V = 240 Vf = 60 HzC = 100 µF

I = A

7.交流阻抗和相量中等

一个电阻和一个电容并联接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩC = 47 µF

I = A

8.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

I = A

9.直流电机中等

某直流电机（k = 0.12 V·s/rad，R_a = 1.5 Ω）由 24 V 供电。满载时电流为 2 A。忽略空载电流，求它的转速调整率 SR = (n₀ − n_FL)/n_FL，以百分数表示。

V = 24 Vk = 0.12 V·s/radR_a = 1.5 ΩI_FL = 2 A

SR = %

10.直流电机困难

某小型直流电机的电枢电阻为 1.2 Ω，由 24 V 供电。忽略旋转损耗，求它在任何转速下能产生的最大机械功率 P_max。

V = 24 VR_a = 1.2 Ω

P_max = W

3溶液

1.三相电

答案: I_L = 82.81 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

电输入功率

P_in = P_out/η = 45/0.9 = 50 kW

线路电流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 50000/(√3·415·0.84) = 82.81 A

答案

I_L = 82.81 A

2.三相电

答案: Q_C = 190.2 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 250·tan(acos 0.72) = 250·0.9639 = 241 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.98) = 250·0.2031 = 50.76 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 190.2 kvar

答案

Q_C = 190.2 kvar

3.变压器

答案: I_LV = 625 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

I_LV = S/V = 150000/240 = 625 A

答案

I_LV = 625 A

4.变压器

答案: P_loss = 825 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.25·900 = 225 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

P_loss = 600 + 225 = 825 W

答案

P_loss = 825 W

此负载下的效率为 η = 98.72%。

5.交流功率和功率因数

答案: I = 190.2 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 35000/(230·0.8) = 190.2 A

答案

I = 190.2 A

6.交流功率和功率因数

答案: I = 21.24 A

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = 4·tan(arccos 0.6) = 5.333 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·100·10⁻⁶ = 2171 var = 2.171 kvar

Q₂ = 5.333 − 2.171 = 3.162 kvar

新的视在功率

S₂ = √(4² + 3.162²) = 5.099 kVA

新的线路电流

I = S₂/V = 5099/240 = 21.24 A

答案

I = 21.24 A

7.交流阻抗和相量

答案: I = 3.888 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

I_R = V/R = 24/15 = 1.6 A

I_X = V/X_C = 24/6.773 = 3.544 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.6² + 3.544²) = 3.888 A

答案

I = 3.888 A

8.交流阻抗和相量

答案: I = 0.4615 A

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−106.5)²) = 108.3 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/108.3 = 0.4615 A

答案

I = 0.4615 A

9.直流电机

答案: SR = 14.29 %

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

空载转速和满载转速

n₀ = 60·24/(2π·0.12) = 1910 rpm

n_FL = 60·(24 − 2·1.5)/(2π·0.12) = 1671 rpm

转速调整率

SR = (1910 − 1671)/1671·100 = 14.29 %

答案

SR = 14.29 %

10.直流电机

答案: P_max = 120 W

功率与反电动势的关系

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

最大功率

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·1.2) = 120 W

答案

P_max = 120 W

此时效率只有 50 %，所以实际电机运行时远高于半速。

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