电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 110 kW。此负载下其效率为 92%，功率因数为 0.85（滞后）。电源线电压为 690 V。求线电流 I_L。

P_out = 110 kWη = 92%cos φ = 0.85V_L = 690 V

I_L = A

2.三相电困难

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 C_ph，以 µF 计。

P = 200 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.变压器中等

一个 2 Ω 的电阻接在匝数比 N₁:N₂ = 5:1 的理想变压器二次绕组两端。求从一次绕组看进去的电阻 R_1′。

N₁:N₂ = 5:1R_L = 2 Ω

R_1′ = Ω

4.变压器困难

一台单相 500 kVA 变压器的铁损为 2000 W。在额定负载、功率因数为 0.95（滞后）时，其效率为 98%。求满载铜损 P_cu,fl，以 W 计。

S = 500 kVAP_core = 2000 Wpf = 0.95η = 98%

P_cu,fl = W

5.交流功率和功率因数中等

一个感性负载从 120 V（有效值）的单相电源吸取 5 A 和 480 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。求 X。

V = 120 VI = 5 AP = 480 W

X = Ω

6.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 400 V、60 Hz 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。求所需电容 C。

P = 10 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V = 400 Vf = 60 Hz

C = µF

7.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 10 µF

I = A

8.交流阻抗和相量困难

电阻 R₁ 与 R₂ 和电容 C 的并联组合串联，接在 12 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 12 V (rms)f = 60 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 150 ΩC = 10 µF

I = A

9.直流电机中等

某直流电机的 k = 0.5 V·s/rad，由 110 V 供电。忽略空载时的所有损耗，求它的空载转速 n₀，单位为 rpm。

V = 110 Vk = 0.5 V·s/rad

n₀ = rpm

10.直流电机困难

某直流电机的 k = 1 V·s/rad，R_a = 1.2 Ω，要以 400 rpm 带动 20 N·m 的负载。求所需的电枢电压 V。

k = 1 V·s/radR_a = 1.2 ΩT = 20 N·mn = 400 rpm

V = V

3溶液

1.三相电

答案: I_L = 117.7 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

电输入功率

P_in = P_out/η = 110/0.92 = 119.6 kW

线路电流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 119565/(√3·690·0.85) = 117.7 A

答案

I_L = 117.7 A

2.三相电

答案: C_ph = 2176 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 200·tan(acos 0.8) = 200·0.75 = 150 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0.98) = 200·0.2031 = 40.61 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 109.4 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 36463/(314.2·230.9²) = 2176 µF

答案

C_ph = 2176 µF

3.变压器

答案: R_1′ = 50 Ω

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

折算电阻

电压升高 a 倍，电流降低 a 倍，所以比值 V/I 增大 a² 倍。

R_1′ = a²·R_L = 5²·2 = 50 Ω

答案

R_1′ = 50 Ω

4.变压器

答案: P_cu,fl = 7694 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

P_out = 500·0.95 = 475 kW

P_in = 475000/0.98 = 484694 W

总损耗和铜损

P_loss = 484694 − 475000 = 9694 W

P_cu,fl = 9694 − 2000 = 7694 W

答案

P_cu,fl = 7694 W

5.交流功率和功率因数

答案: X = 14.4 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 480/5² = 19.2 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 120/5 = 24 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(24² − 19.2²) = 14.4 Ω

答案

X = 14.4 Ω

6.交流功率和功率因数

答案: C = 139.3 µF

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(49.46°) = 11.69 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(18.19°) = 3.287 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 8.404 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = Q_C/(2πf·V²) = 8404/(2π·60·400²) = 139.3 µF

答案

C = 139.3 µF

7.交流阻抗和相量

答案: I = 0.01671 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.2 = 628.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (596.5)²) = 598.6 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/598.6 = 0.01671 A

答案

I = 0.01671 A

8.交流阻抗和相量

答案: I = 0.06825 A

电抗

X_C = 1/(2π·60·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Z_p 分成实部和虚部。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 113.7 − j64.27 Ω

总阻抗

Z = 50 + 113.7 − j64.27 = 163.7 − j64.27 Ω

|Z| = √(163.7² + 64.27²) = 175.8 Ω

电流

I = V/|Z| = 12/175.8 = 0.06825 A

答案

I = 0.06825 A

9.直流电机

答案: n₀ = 2101 rpm

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

空载转速

ω₀ = V/k = 110/0.5 = 220 rad/s

n₀ = 60·220/(2π) = 2101 rpm

答案

n₀ = 2101 rpm

10.直流电机

答案: V = 65.89 V

反电动势

E = 1·41.89 = 41.89 V

电枢电流

I_a = 20/1 = 20 A

电枢电压

V = 41.89 + 20·1.2 = 65.89 V

答案

V = 65.89 V

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