电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 18.5 kW。此负载下其效率为 94%，功率因数为 0.84（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 I_L。

P_out = 18.5 kWη = 94%cos φ = 0.84V_L = 400 V

I_L = A

2.三相电困难

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 150 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 C_ph，以 µF 计。

P = 150 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.变压器中等

一台匝数比 N₁:N₂ = 2:1 的理想变压器，一次绕组加 480 V 电压。二次绕组两端接一个 10 Ω 的电阻。求一次电流 I₁。

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 480 VR_L = 10 Ω

I₁ = A

4.变压器困难

一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 800 W，额定负载下铜损为 2000 W。它以 0.9（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 50%。求此负载下的总损耗 P_loss，以 W 计。

S = 100 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2000 Wx = 0.5pf = 0.9

P_loss = W

5.交流功率和功率因数中等

一个感性负载从 230 V（有效值）的单相电源吸取 7.5 A 和 1035 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。求 R。

V = 230 VI = 7.5 AP = 1035 W

R = Ω

6.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 230 V、60 Hz 电源吸取 40 kW，功率因数为 0.8（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。求电容需提供的无功功率 Q_C。

P = 40 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.9V = 230 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.交流阻抗和相量中等

一个电阻和一个电感并联接在 24 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 50 mH

I = A

8.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 12 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 12 V (rms)R = 15 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF

V_L = V

9.直流电机中等

某直流电机在 960 rpm 下输出 0.75 kW 的机械功率。求轴转矩 T。

P = 0.75 kWn = 960 rpm

T = N·m

10.直流电机困难

某直流电机（k = 0.75 V·s/rad，R_a = 0.4 Ω）接在固定的 48 V 电源上，带动 7.5 N·m 的负载。求把转速降到 400 rpm 所需的串联电阻 R_s。

V = 48 Vk = 0.75 V·s/radR_a = 0.4 ΩT = 7.5 N·mn = 400 rpm

R_s = Ω

3溶液

1.三相电

答案: I_L = 33.82 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

电输入功率

P_in = P_out/η = 18.5/0.94 = 19.68 kW

线路电流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 19681/(√3·400·0.84) = 33.82 A

答案

I_L = 33.82 A

2.三相电

答案: C_ph = 776.7 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 150·tan(acos 0.65) = 150·1.169 = 175.4 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0.95) = 150·0.3287 = 49.3 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 126.1 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 42022/(314.2·415²) = 776.7 µF

答案

C_ph = 776.7 µF

3.变压器

答案: I₁ = 12 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V₂ = 480/2 = 240 V

I₂ = 240/10 = 24 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/2 = 12 A

答案

I₁ = 12 A

验算：从一次侧看负载为 a²·R_L = 40 Ω，480/40 得到相同的电流。

4.变压器

答案: P_loss = 1300 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.25·2000 = 500 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

P_loss = 800 + 500 = 1300 W

答案

P_loss = 1300 W

此负载下的效率为 η = 97.19%。

5.交流功率和功率因数

答案: R = 18.4 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 1035/7.5² = 18.4 Ω

答案

R = 18.4 Ω

6.交流功率和功率因数

答案: Q_C = 10.63 kvar

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(36.87°) = 30 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(25.84°) = 19.37 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 10.63 kvar

答案

Q_C = 10.63 kvar

7.交流阻抗和相量

答案: I = 0.9022 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = ωL = 2π·100·0.05 = 31.42 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

I_R = V/R = 24/50 = 0.48 A

I_X = V/X_L = 24/31.42 = 0.7639 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(I_R² + I_X²) = √(0.48² + 0.7639²) = 0.9022 A

答案

I = 0.9022 A

8.交流阻抗和相量

答案: V_L = 120.6 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·2.2·10⁻⁶) = 3015 rad/s

I = V/R = 12/15 = 0.8 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 3015·0.05 = 150.8 Ω

V_L = I·X_L = 0.8·150.8 = 120.6 V

答案

V_L = 120.6 V

这是电源电压的 Q = 10.05 倍。

9.直流电机

答案: T = 7.46 N·m

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

以 rad/s 表示的转速

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

扭矩

T = P/ω = 750/100.5 = 7.46 N·m

答案

T = 7.46 N·m

10.直流电机

答案: R_s = 1.258 Ω

电流与反电动势

I_a = 7.5/0.75 = 10 A

E = 0.75·41.89 = 31.42 V

串联电阻

R_a + R_s = (48 − 31.42)/10 = 1.658 Ω

R_s = 1.258 Ω

答案

R_s = 1.258 Ω

该电阻消耗 125.8 W；斩波器调速的损耗要小得多。

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