电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一个对称三相负载从线电压为 400 V 的电源取用 20 A 的线电流，功率因数为 0.8（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 400 VI_L = 20 Acos φ = 0.8

P = kW

2.三相电困难

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 100 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 100 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.变压器中等

一台匝数比 N₁:N₂ = 2:1 的理想变压器，一次绕组加 480 V 电压。二次绕组两端接一个 40 Ω 的电阻。求一次电流 I₁。

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 480 VR_L = 40 Ω

I₁ = A

4.变压器困难

一台单相 75 kVA 变压器的铁损为 600 W。在额定负载、功率因数为 0.8（滞后）时，其效率为 96.5%。求满载铜损 P_cu,fl，以 W 计。

S = 75 kVAP_core = 600 Wpf = 0.8η = 96.5%

P_cu,fl = W

5.交流功率和功率因数中等

一个阻抗为 Z = 12 + j5 Ω 的负载接在 240 V（有效值）的单相电源上。求它吸收的有功功率 P。

V = 240 VZ = 12 + j5 Ω

P = W

6.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 230 V、60 Hz 电源吸取 20 kW，功率因数为 0.75（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。求所需电容 C。

P = 20 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.98V = 230 Vf = 60 Hz

C = µF

7.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求从电源吸取的有功功率 P。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 100 µF

P = W

8.交流阻抗和相量困难

电阻 R₁ 与 R₂ 和电容 C 的并联组合串联，接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求阻抗的模 |Z|。

V = 100 V (rms)f = 60 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 100 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

9.直流电机中等

某直流电机（k = 0.1 N·m/A，R_a = 0.2 Ω）由 24 V 供电，带动 0.5 N·m 的负载转矩。求它的转速 n，单位为 rpm。

V = 24 Vk = 0.1 N·m/AR_a = 0.2 ΩT = 0.5 N·m

n = rpm

10.直流电机困难

某小型直流电机的电枢电阻为 1.2 Ω，由 24 V 供电。忽略旋转损耗，求它在任何转速下能产生的最大机械功率 P_max。

V = 24 VR_a = 1.2 Ω

P_max = W

3溶液

1.三相电

答案: P = 11.09 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

视在功率

S = √3·V_L·I_L = √3·400·20 = 13.86 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 13.86·0.8 = 11.09 kW

答案

P = 11.09 kW

2.三相电

答案: Q_C = 69.15 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 100·tan(acos 0.7) = 100·1.02 = 102 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 69.15 kvar

答案

Q_C = 69.15 kvar

3.变压器

答案: I₁ = 3 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V₂ = 480/2 = 240 V

I₂ = 240/40 = 6 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/2 = 3 A

答案

I₁ = 3 A

验算：从一次侧看负载为 a²·R_L = 160 Ω，480/160 得到相同的电流。

4.变压器

答案: P_cu,fl = 1576 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

P_out = 75·0.8 = 60 kW

P_in = 60000/0.965 = 62176 W

总损耗和铜损

P_loss = 62176 − 60000 = 2176 W

P_cu,fl = 2176 − 600 = 1576 W

答案

P_cu,fl = 1576 W

5.交流功率和功率因数

答案: P = 4090 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω

I = V/|Z| = 240/13 = 18.46 A

有功功率

P = I²·R = 18.46²·12 = 4090 W

答案

P = 4090 W

6.交流功率和功率因数

答案: C = 680.8 µF

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(41.41°) = 17.64 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(11.48°) = 4.061 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 13.58 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = Q_C/(2πf·V²) = 13577/(2π·60·230²) = 680.8 µF

答案

C = 680.8 µF

7.交流阻抗和相量

答案: P = 0.7446 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 94.25 Ω, X_C = 15.92 Ω

阻抗

|Z| = √(40² + (78.33)²) = 87.95 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 12/87.95 = 0.1364 A

P = I²·R = 0.1364²·40 = 0.7446 W

答案

P = 0.7446 W

8.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 58.01 Ω

电抗

X_C = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Z_p 分成实部和虚部。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 24.16 − j42.8 Ω

总阻抗

Z = 15 + 24.16 − j42.8 = 39.16 − j42.8 Ω

|Z| = √(39.16² + 42.8²) = 58.01 Ω

答案

|Z| = 58.01 Ω

9.直流电机

答案: n = 2196 rpm

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

电枢电流

I_a = T/k = 0.5/0.1 = 5 A

反电动势与转速

E = 24 − 5·0.2 = 23 V

ω = E/k = 230 rad/s → n = 2196 rpm

答案

n = 2196 rpm

10.直流电机

答案: P_max = 120 W

功率与反电动势的关系

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

最大功率

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·1.2) = 120 W

答案

P_max = 120 W

此时效率只有 50 %，所以实际电机运行时远高于半速。

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