电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一个对称三相负载从线电压为 208 V 的电源取用 15 A 的线电流，功率因数为 0.88（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 208 VI_L = 15 Acos φ = 0.88

P = kW

2.三相电困难

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 150 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 150 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.92V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.变压器中等

一个 10 Ω 的电阻接在匝数比 N₁:N₂ = 2:1 的理想变压器二次绕组两端。求从一次绕组看进去的电阻 R_1′。

N₁:N₂ = 2:1R_L = 10 Ω

R_1′ = Ω

4.变压器困难

一台单相 75 kVA 变压器的铁损为 300 W，额定负载下铜损为 750 W。它以 0.85（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 25%。求此负载下的总损耗 P_loss，以 W 计。

S = 75 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 750 Wx = 0.25pf = 0.85

P_loss = W

5.交流功率和功率因数中等

两个负载并联接在 230 V 的单相电源上：一个 2 kW、功率因数为 0.8（滞后）的负载，以及一个 9 kW、功率因数为 0.9（超前）的负载。求从电源吸取的总电流 I。

V = 230 VP₁ = 2 kW, pf₁ = 0.8 滞后P₂ = 9 kW, pf₂ = 0.9 超前

I = A

6.交流功率和功率因数困难

一台 100 kVA 的单相变压器为一个 33 kW、功率因数为 0.6（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

S_max = 100 kVAP₁ = 33 kWpf₁ = 0.6

ΔP = kW

7.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 10 µF

φ = °

8.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 5 V (rms)R = 20 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_L = V

9.直流电机中等

某直流电机从 240 V 电源吸取 40 A 电流。其电枢电阻为 0.5 Ω，旋转损耗（摩擦、风阻和铁损）为 528 W。求它的效率 η。

V = 240 VI_a = 40 AR_a = 0.5 ΩP_rot = 528 W

η = %

10.直流电机困难

某直流电机的 k = 1 V·s/rad，R_a = 0.2 Ω，要以 1000 rpm 带动 40 N·m 的负载。求所需的电枢电压 V。

k = 1 V·s/radR_a = 0.2 ΩT = 40 N·mn = 1000 rpm

V = V

3溶液

1.三相电

答案: P = 4.756 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

视在功率

S = √3·V_L·I_L = √3·208·15 = 5.404 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 5.404·0.88 = 4.756 kW

答案

P = 4.756 kW

2.三相电

答案: Q_C = 80.68 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 150·tan(acos 0.72) = 150·0.9639 = 144.6 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0.92) = 150·0.426 = 63.9 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 80.68 kvar

答案

Q_C = 80.68 kvar

3.变压器

答案: R_1′ = 40 Ω

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

折算电阻

电压升高 a 倍，电流降低 a 倍，所以比值 V/I 增大 a² 倍。

R_1′ = a²·R_L = 2²·10 = 40 Ω

答案

R_1′ = 40 Ω

4.变压器

答案: P_loss = 346.9 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.0625·750 = 46.88 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

P_loss = 300 + 46.88 = 346.9 W

答案

P_loss = 346.9 W

此负载下的效率为 η = 97.87%。

5.交流功率和功率因数

答案: I = 49.41 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q₁ = 2·tan(arccos 0.8) = 1.5 kvar

Q₂ = −9·tan(arccos 0.9) = −4.359 kvar

总计

P = 2 + 9 = 11 kW

Q = 1.5 + (−4.359) = −2.859 kvar

S = √(11² + (−2.859)²) = 11.37 kVA

总电流

I = S/V = 11365/230 = 49.41 A

答案

I = 49.41 A

6.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 56.8 kW

现有负载的无功功率

Q₁ = 33·tan(arccos 0.6) = 44 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = S_max，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 44²) = 89.8 kW

增加的有功功率

ΔP = 89.8 − 33 = 56.8 kW

答案

ΔP = 56.8 kW

7.交流阻抗和相量

答案: φ = −22.72 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−33.49)²) = 86.73 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−33.49/80) = −22.72°

答案

φ = −22.72°

8.交流阻抗和相量

答案: V_L = 17.68 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s

I = V/R = 5/20 = 0.25 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 1414·0.05 = 70.71 Ω

V_L = I·X_L = 0.25·70.71 = 17.68 V

答案

V_L = 17.68 V

这是电源电压的 Q = 3.536 倍。

9.直流电机

答案: η = 86.17 %

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

各功率

P_in = 240·40 = 9600 W

P_dev = 220·40 = 8800 W

P_out = 8800 − 528 = 8272 W

效率

η = 8272/9600·100 = 86.17 %

答案

η = 86.17 %

10.直流电机

答案: V = 112.7 V

反电动势

E = 1·104.7 = 104.7 V

电枢电流

I_a = 40/1 = 40 A

电枢电压

V = 104.7 + 40·0.2 = 112.7 V

答案

V = 112.7 V

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