描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
内部效度指的是：
- A参与者是否觉得研究有趣
- B研究结果能否推广到该研究之外的其他总体、情境和时间
- C测验在不同时间是否给出相同结果
- D观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
2.心理学研究方法困难
在扎根理论中，数据收集持续到什么时候？
- A获得低于 0.05 的 p 值
- B原假设得到证实
- C至少访谈了 1,000 名参与者
- D达到理论饱和，新数据不再产生新的类别
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：35, 32, 54, 44, 42。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。求成绩 146 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 20x = 146
z =
5.概率中等
从 14 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 14k = 2
N =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.3 赢得 €15，以概率 0.05 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €5€15: p = 0.3€50: p = 0.05
E(G) = €
7.正态分布中等
X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 111.4 s 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 111.4 s
P =
8.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分20%
x = 分
9.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 9.1，标准差为 5.5。 求平均差值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 7d̄ = 9.1sd = 5.590%t(6) = 1.943
E = mmHg
10.置信区间困难
总体标准差为 21。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 21E = 290%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 8。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 48.62。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ < 50。求 p 值 p。
μ₀ = 50σ = 8n = 64x̄ = 48.62H₁: μ < μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 23。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 90%δ = 3σ = 23zα = 1.645zβ = 1.282
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 5x = 3.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 7 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
为什么是这个答案
内部效度高意味着已排除其他解释，如混淆变量、需求特征或实验者偏差。外部效度则涉及推广性。
答案
D · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
2.心理学研究方法
答案: D · 达到理论饱和，新数据不再产生新的类别
为什么是这个答案
扎根理论以归纳方式发展理论，同时收集和编码数据，当新数据不再发展类别时就停止抽样。
答案
D · 达到理论饱和，新数据不再产生新的类别
3.描述统计
答案: s = 8.591
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 207/5 = 41.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−6.4)² + (−9.4)² + 12.6² + 2.6² + 0.6² = 295.2
标准差
s = √(295.2/4) = 8.591
答案
s = 8.591
4.描述统计
答案: z = −1.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (146 − 170)/20 = −1.2
答案
z = −1.2
5.概率
答案: N = 91
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91
答案
N = 91
6.概率
答案: E(G) = 2 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 10 (p = 0.3), 45 (p = 0.05), −5 (p = 0.65)
期望值
E(G) = 10·0.3 + 45·0.05 − 5·0.65 = 2 €
答案
E(G) = 2 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.1587
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
标准化
z = (111.4 − 105)/6.403 = 1
上尾
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587
答案
P = 0.1587
8.正态分布
答案: x = 87.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.2
由表得到的 z
z ≈ −0.84
回到原来的单位
x = 100 − 0.84·15 = 87.4 分
答案
x = 87.4 分
9.置信区间
答案: E = 4.039 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 1.943
误差范围
E = 1.943·5.5/√7 = 4.039
答案
E = 4.039 mmHg
10.置信区间
答案: n = 299
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·21/2)² = 298.3
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 299
答案
n = 299
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.08379
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 8/√64 = 1
z = (48.62 − 50)/1 = −1.38
尾部面积
Φ(1.38) = 0.9162
1 − Φ(1.38) = 0.0838
p 值
p = 0.08379
答案
p = 0.08379
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 504
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.282)·23/3)² = 503.6
向上取整
n = 504
答案
n = 504
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9972
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 116/5 = 23.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138
Syy = Σ(y − ȳ)² = 478.8
相关系数
r = 138/√(40·478.8) = 0.9972
答案
r = 0.9972
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 14.2
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 78/5 = 15.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
回归直线
b = −28/10 = −2.8
a = 15.6 − (−2.8)·3 = 24
ŷ = 24 − 2.8·x
预测
ŷ = 24 + (−2.8)·3.5 = 14.2
答案
ŷ = 14.2
15.卡方检验
答案: χ² = 1.444
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 40·48/160 = 12, 40·48/160 = 12, 40·64/160 = 16
教职工: 120·48/160 = 36, 120·48/160 = 36, 120·64/160 = 48
卡方统计量
χ² = (9 − 12)²/12 + (13 − 12)²/12 + (18 − 16)²/16 + (39 − 36)²/36 + (35 − 36)²/36 + (46 − 48)²/48
χ² = 1.444
答案
χ² = 1.444
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 15.09
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 7 − 1 − 1 = 5
表
χ²crit(df = 5, α = 0.01) = 15.086
答案
χ²crit = 15.086
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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