描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
要获得一个一、二、三年级学生比例与全校总体相同的样本，研究者应使用：
- A滚雪球抽样
- B志愿者抽样
- C分层抽样
- D机会抽样
2.心理学研究方法困难
一项元分析综合了某种疗法的 40 项研究。为什么其总体效应量仍可能过大？
- A元分析不能纳入随机对照试验
- B由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
- C元分析得出的效应总是小于其所纳入的单项研究
- D综合多项研究总能消除所有偏差
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：38, 46, 43, 56, 28, 35。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 50。数值高于 400 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 50x = 400
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.1, 0.2, 0.3, 0.05
Var(X) =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.25 赢得 €10，以概率 0.02 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€10: p = 0.25€100: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 500 和 520 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 500x2 = 520
P =
8.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 97.5%
x = 分
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 64 h，已知标准差 20 h。型号 2：80 部手机，均值 55.5 h，已知标准差 15 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 80x̄₁ = 64 hσ₁ = 20 hn₂ = 80x̄₂ = 55.5 hσ₂ = 15 h90%
上限 = h
10.置信区间困难
总体标准差为 25。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 25E = 299%
n =
11.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：7 名学生，平均分 63，标准差 4.5。第 2 组：7 名学生，平均分 75.3，标准差 9.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 7x̄₁ = 63s₁ = 4.5n₂ = 7x̄₂ = 75.3s₂ = 9.5
t =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 150 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 59 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 150n₁ = 300x₂ = 59n₂ = 150
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 119Σx² = 91Σy² = 2447Σxy = 378
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (11, 31)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(11, 31)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1002 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 6 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
2 × 6
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 分层抽样
为什么是这个答案
分层抽样先识别子群体（层），再按其在总体中的规模比例从每层中随机抽样，使样本更具代表性。
答案
C · 分层抽样
2.心理学研究方法
答案: B · 由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
为什么是这个答案
如果零结果较少被发表，合并效应就会被夸大。漏斗图和检索未发表数据有助于发现并减少这一问题。
答案
B · 由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
3.描述统计
答案: s = 9.675
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 246/6 = 41
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−3)² + 5² + 2² + 15² + (−13)² + (−6)² = 468
标准差
s = √(468/5) = 9.675
答案
s = 9.675
4.描述统计
答案: P = 0.9772
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −2
标准正态分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
答案
P = 0.9772
5.概率
答案: Var(X) = 1.84
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.3 + 5·0.05 = 2.6
平方的均值
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.2 + 16·0.3 + 25·0.05 = 8.6
方差
Var(X) = 8.6 − 2.6² = 1.84
答案
Var(X) = 1.84
6.概率
答案: E(G) = 2.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 8 (p = 0.25), 98 (p = 0.02), −2 (p = 0.73)
期望值
E(G) = 8·0.25 + 98·0.02 − 2·0.73 = 2.5 €
答案
E(G) = 2.5 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.1915
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (500 − 500)/40 = 0
z₂ = (520 − 500)/40 = 0.5
中间面积
P = Φ(0.5) − Φ(0) = 0.6915 − 0.5 = 0.1915
答案
P = 0.1915
8.正态分布
答案: x = 84.6 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
换算回 x
x = 65 + 1.96·10 = 84.6 分
答案
x = 84.6 分
9.置信区间
答案: 上限 = 13.1 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 64 − 55.5 = 8.5
标准误
SE = √(20²/80 + 15²/80) = 2.795
误差范围
E = 1.645·2.795 = 4.598
区间
8.5 ± 4.598 → [3.902, 13.1]
答案
上限 = 13.1 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
10.置信区间
答案: n = 1037
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·25/2)² = 1037
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1037
答案
n = 1037
11.假设检验与置信区间
答案: t = −3.096
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (6·4.5² + 6·9.5²)/12 = 55.25
sp = 7.433
标准误
SE = 7.433·√(1/7 + 1/7) = 3.973
检验统计量
t = (63 − 75.3)/3.973 = −3.096
答案
t = −3.096
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: z = 2.139
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 150/300 = 0.5
p̂₂ = 59/150 = 0.3933
p̂ = 209/450 = 0.4644
H₀ 下的标准误
SE = √(0.4644·0.5356·(1/300 + 1/150)) = 0.04987
检验统计量
z = (0.5 − 0.3933)/0.04987 = 2.139
答案
z = 2.139
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9876
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 378 − 21·119/6 = −38.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2447 − 119²/6 = 86.83
相关系数
r = −38.5/√(17.5·86.83) = −0.9876
答案
r = −0.9876
14.线性回归与相关
答案: e = 1.505
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 118/6 = 19.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
回归直线
b = 172/70 = 2.457
a = 19.67 − 2.457·7 = 2.467
ŷ = 2.467 + 2.457·x
预测值
ŷ = 2.467 + 2.457·11 = 29.5
残差
e = 31 − 29.5 = 1.505
答案
e = 1.505
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 20.17
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 60·50/100 = 30, 60·50/100 = 30
不吸烟者: 40·50/100 = 20, 40·50/100 = 20
卡方统计量
χ² = (41 − 30)²/30 + (19 − 30)²/30 + (9 − 20)²/20 + (31 − 20)²/20
χ² = 20.17
答案
χ² = 20.17
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 5
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
答案
df = 5
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