描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项研究进行了预注册。这意味着：
- A结果在发表前由第二位独立的统计学家核查并批准
- B该研究已经发表
- C参与者在网上登记同意
- D在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
2.心理学研究方法困难
分析完数据后，研究者在撰写引言时把一个意外发现写得好像一开始就预测到了一样。这称为：
- A平衡抵消
- BHARKing（结果已知后提出假设）
- C操作化
- D事后说明
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：17, 24, 42, 53, 34, 49。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。求成绩 42.5 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 15x = 42.5
z =
5.概率中等
袋中有 4 个红球和 9 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
4 / 9
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 5X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.35, 0.2, 0.2Y = 5X + 10
σY =
7.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 77.5 和 108.25 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 77.5x2 = 108.25
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.置信区间中等
一个包含 15 个个体的样本，均值为 50，标准差 s = 5.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 15x̄ = 50s = 5.595%t(14) = 2.145
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 29。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 29E = 2.590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 101.5，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 101.5s = 8n = 81
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ < 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 99.2。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 99.2σ = 5n = 100α = 0.10
1 − β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 50？
n = 6ŷ = 50
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 8 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
为什么是这个答案
预注册把验证性分析与探索性分析区分开来，减少 p 值操纵（p-hacking）和事后提出假设（HARKing）等做法。
答案
D · 在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
2.心理学研究方法
答案: B · HARKing（结果已知后提出假设）
为什么是这个答案
HARKing 把探索性结果当作验证性结果来呈现，使发现看起来比实际更可靠。它是重复危机的成因之一。
答案
B · HARKing（结果已知后提出假设）
3.描述统计
答案: s = 14.15
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 219/6 = 36.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−19.5)² + (−12.5)² + 5.5² + 16.5² + (−2.5)² + 12.5² = 1002
标准差
s = √(1002/5) = 14.15
答案
s = 14.15
4.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (42.5 − 50)/15 = −0.5
答案
z = −0.5
5.概率
答案: P = 0.07692
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0.07692
答案
P = 0.07692
6.概率
答案: σY = 53.09
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 23.5, Var(X) = 112.8, σX = 10.62
线性变换
σY = |5|·10.62 = 53.09
答案
σY = 53.09
均值确实会改变：E(Y) = 5·23.5 + 10 = 127.5。
7.正态分布
答案: P = 0.642
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (77.5 − 100)/15 = −1.5
z₂ = (108.25 − 100)/15 = 0.55
中间面积
P = Φ(0.55) − Φ(−1.5) = 0.7088 − 0.06681 = 0.642
答案
P = 0.642
8.正态分布
答案: P = 0.9207
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02828 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.02828 = −1.41
概率
P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207
答案
P = 0.9207
9.置信区间
答案: 上限 = 53.05
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 14, t = 2.145
误差范围
E = 2.145·5.5/√15 = 3.046
区间
50 ± 3.046 → [46.95, 53.05]
答案
上限 = 53.05
10.置信区间
答案: n = 365
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·29/2.5)² = 364.1
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 365
答案
n = 365
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.688
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889
检验统计量
t = (101.5 − 100)/0.8889 = 1.688
答案
t = 1.688
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 62.48 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 5/√100 = 0.5
x̄c = 100 − 1.282·0.5 = 99.36
真实均值下的 z
z = (99.36 − 99.2)/0.5 = 0.318
功率
功效 = P(Z < 0.318) = 62.48%
1 − β = 62.48%
答案
1 − β = 62.48%
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9697
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 328/6 = 54.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1157
相关系数
r = 276/√(70·1157) = 0.9697
答案
r = 0.9697
14.线性回归与相关
答案: x = 2.079
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 381/6 = 63.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 241
回归直线
b = 241/70 = 3.443
a = 63.5 − 3.443·6 = 42.84
ŷ = 42.84 + 3.443·x
解出 x
x = (50 − 42.84)/3.443 = 2.079
答案
x = 2.079
15.卡方检验
答案: χ² = 3.906
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 80·72/120 = 48, 80·48/120 = 32
女性: 40·72/120 = 24, 40·48/120 = 16
卡方统计量
χ² = (43 − 48)²/48 + (37 − 32)²/32 + (29 − 24)²/24 + (11 − 16)²/16
χ² = 3.906
答案
χ² = 3.906
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 12.59
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 8 − 1 − 1 = 6
表
χ²crit(df = 6, α = 0.05) = 12.592
答案
χ²crit = 12.592
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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