描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一份新的抑郁问卷能预测哪些学生会在下一年寻求治疗。这支持哪种效度？
- A内容效度
- B表面效度
- C预测效度
- D同时效度
2.心理学研究方法困难
一名研究者进行了五次 t 检验，想用 Bonferroni 校正把总体第一类错误率保持在 0.05。每次检验应使用什么显著性水平？
- A0.025
- B0.05
- C0.25
- D0.01
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：31, 14, 31, 34, 43, 36, 45。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。求成绩 50.4 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 12x = 50.4
z =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 6 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 6
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = −2X + 5。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.05, 0.35, 0.35Y = −2X + 5
σY =
7.正态分布中等
X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 762.3 g 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762.3 g
P =
8.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.置信区间中等
一个包含 15 个个体的样本，均值为 79.5，标准差 s = 17.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 15x̄ = 79.5s = 17.595%t(14) = 2.145
上限 =
10.置信区间困难
10 根机加工轴的直径样本标准差为 8.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 9 时，χ² 分布有 2.5% 位于 2.7 以下，2.5% 位于 19.023 以上。
n = 10s = 8.5 µmχ² = 2.7, 19.023
σ = µm
11.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 44.5，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 44.5s = 10n = 16
t =
12.假设检验与置信区间困难
49 次测量的样本均值为 76.4。总体标准差为 8。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 76.4σ = 8n = 4995%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 25Σy = 204Σx² = 165Σy² = 8576Σxy = 1120
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 16？
n = 5ŷ = 16
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 8 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 8
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 预测效度
为什么是这个答案
当分数能预测以后的效标时，就显示出预测效度。同时效度使用的是同一时间测量的效标。
答案
C · 预测效度
2.心理学研究方法
答案: D · 0.01
为什么是这个答案
Bonferroni 校正把 α 除以比较次数：0.05 / 5 = 0.01。它简单但保守，会增加第二类错误的风险。
答案
D · 0.01
3.描述统计
答案: s = 10.18
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 234/7 = 33.43
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−2.429)² + (−19.43)² + (−2.429)² + 0.5714² + 9.571² + 2.571² + 11.57² = 621.7
标准差
s = √(621.7/6) = 10.18
答案
s = 10.18
4.描述统计
答案: z = −0.8
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (50.4 − 60)/12 = −0.8
答案
z = −0.8
5.概率
答案: P = 0.6651
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)6 = 0.3349
P = 1 − 0.3349 = 0.6651
答案
P = 0.6651
6.概率
答案: σY = 4.665
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.6, Var(X) = 5.44, σX = 2.332
线性变换
σY = |−2|·2.332 = 4.665
答案
σY = 4.665
均值确实会改变：E(Y) = −2·3.6 + 5 = −2.2。
7.正态分布
答案: P = 0.1056
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
标准化
z = (762.3 − 750)/9.849 = 1.25
上尾
P = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056
答案
P = 0.1056
8.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
9.置信区间
答案: 上限 = 89.19
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 14, t = 2.145
误差范围
E = 2.145·17.5/√15 = 9.692
区间
79.5 ± 9.692 → [69.81, 89.19]
答案
上限 = 89.19
10.置信区间
答案: σ = 15.52 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 9·8.5² = 650.3
σ² 的限值
650.3/19.023 = 34.18
650.3/2.7 = 240.8
σ 的限值
σ = √240.8 = 15.52 µm
答案
σ = 15.52 µm
σ 的 95% 区间：[5.847, 15.52] µm。
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5
检验统计量
t = (44.5 − 50)/2.5 = −2.2
答案
t = −2.2
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 74.16
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·8/√49 = 2.24
区间端点
L = 76.4 − 2.24 = 74.16
答案
L = 74.16
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9944
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1120 − 25·204/5 = 100
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 8576 − 204²/5 = 252.8
相关系数
r = 100/√(40·252.8) = 0.9944
答案
r = 0.9944
14.线性回归与相关
答案: x = 4.417
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
回归直线
b = −24/10 = −2.4
a = 19.4 − (−2.4)·3 = 26.6
ŷ = 26.6 − 2.4·x
解出 x
x = (16 − 26.6)/(−2.4) = 4.417
答案
x = 4.417
15.卡方检验
答案: χ² = 0.9
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 80·80/160 = 40, 80·80/160 = 40
不吸烟者: 80·80/160 = 40, 80·80/160 = 40
卡方统计量
χ² = (37 − 40)²/40 + (43 − 40)²/40 + (43 − 40)²/40 + (37 − 40)²/40
χ² = 0.9
答案
χ² = 0.9
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 8 − 1 − 1 = 6
答案
df = 6
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