描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
哪种统计量适用于两组等级之间的关系，例如评委对画作的排名？
- A卡方
- B独立样本 t 检验
- CPearson 相关系数 r
- DSpearman 等级相关系数（rho）
2.心理学研究方法困难
在定性研究中，反身性（reflexivity）是指研究者：
- A反思自己的背景和假设可能如何影响分析
- B把主题转换为数值数据
- C使用随机样本以消除偏差
- D重复研究以检验信度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：50, 34, 17, 22, 60。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。数值低于 75 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 10x = 75
P =
5.概率中等
从 7 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 7k = 3
N =
6.概率困难
一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.1，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.1k = 3
P =
7.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量低于 105.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 9< 105.6 kg
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.置信区间中等
一个包含 12 个个体的样本，均值为 73.5，标准差 s = 1.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 12x̄ = 73.5s = 1.595%t(11) = 2.201
下限 =
10.置信区间困难
10 根机加工轴的直径样本标准差为 1.8 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 9 时，χ² 分布有 2.5% 位于 2.7 以下，2.5% 位于 19.023 以上。
n = 10s = 1.8 µmχ² = 2.7, 19.023
σ = µm
11.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 101.7，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 101.7s = 4n = 16
t =
12.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 201.5。总体标准差为 4。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 201.5σ = 4n = 1699%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 6 时的 ŷ。
n = 5x = 6
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2402 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 5 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 5
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · Spearman 等级相关系数（rho）
为什么是这个答案
Spearman 等级相关测量两个排序或顺序变量之间单调关系的强度。
答案
D · Spearman 等级相关系数（rho）
2.心理学研究方法
答案: A · 反思自己的背景和假设可能如何影响分析
为什么是这个答案
反身性承认研究者对数据收集和解释的影响，是定性研究的一项关键质量标准。
答案
A · 反思自己的背景和假设可能如何影响分析
3.描述统计
答案: s = 18.24
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 183/5 = 36.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 13.4² + (−2.6)² + (−19.6)² + (−14.6)² + 23.4² = 1331
标准差
s = √(1331/4) = 18.24
答案
s = 18.24
4.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
答案
P = 0.9332
5.概率
答案: N = 35
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35
答案
N = 35
6.概率
答案: P = 0.02296
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 35·0.13·0.94 = 35·0.001·0.6561 = 0.02296
答案
P = 0.02296
7.正态分布
答案: P = 0.1587
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 108 kg, σT = 0.8·√9 = 2.4 kg
标准化
z = (105.6 − 108)/2.4 = −1
概率
P = Φ(−1) = 0.1587
答案
P = 0.1587
8.正态分布
答案: P = 0.9515
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66
概率
P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515
答案
P = 0.9515
9.置信区间
答案: 下限 = 72.55
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 11, t = 2.201
误差范围
E = 2.201·1.5/√12 = 0.9531
区间
73.5 ± 0.9531 → [72.55, 74.45]
答案
下限 = 72.55
10.置信区间
答案: σ = 3.286 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 9·1.8² = 29.16
σ² 的限值
29.16/19.023 = 1.533
29.16/2.7 = 10.8
σ 的限值
σ = √10.8 = 3.286 µm
答案
σ = 3.286 µm
σ 的 95% 区间：[1.238, 3.286] µm。
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
检验统计量
t = (101.7 − 100)/1 = 1.7
答案
t = 1.7
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 204.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·4/√16 = 2.576
区间端点
U = 201.5 + 2.576 = 204.1
答案
U = 204.1
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9574
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 112/5 = 22.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −11
Syy = Σ(y − ȳ)² = 13.2
相关系数
r = −11/√(10·13.2) = −0.9574
答案
r = −0.9574
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 68.15
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 313/5 = 62.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 222
回归直线
b = 222/40 = 5.55
a = 62.6 − 5.55·5 = 34.85
ŷ = 34.85 + 5.55·x
预测
ŷ = 34.85 + 5.55·6 = 68.15
答案
ŷ = 68.15
15.卡方检验
答案: χ² = 2.857
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 120·72/240 = 36, 120·168/240 = 84
安慰剂: 120·72/240 = 36, 120·168/240 = 84
卡方统计量
χ² = (42 − 36)²/36 + (78 − 84)²/84 + (30 − 36)²/36 + (90 − 84)²/84
χ² = 2.857
答案
χ² = 2.857
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 3
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 5 − 1 − 1 = 3
答案
df = 3
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