心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

研究者想检验性别（男/女）与偏好的电影类型（四类）之间是否存在关联。哪种检验合适？

A配对 t 检验
BPearson 相关
C卡方独立性检验
D单因素方差分析

2.心理学研究方法困难

实验中把参与者随机分配到各条件的主要目的是什么？

A确保参与者不知道研究目的
B提高应答率
C使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
D使样本能代表目标总体，从而使结果可以推广

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：56, 29, 58, 42, 21, 60, 44。

n = 7

s =

4.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。求成绩 50.4 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 8x = 50.4

z =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.25, 0.15, 0.05, 0.2

Var(X) =

6.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 10X + 20。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.15, 0.05, 0.25, 0.25Y = 10X + 20

σ_Y =

7.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 111.4 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111.4 s

P =

8.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

9.置信区间中等

一个包含 13 个个体的样本，均值为 77.5，标准差 s = 4.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的上限。

n = 13x̄ = 77.5s = 4.595%t(12) = 2.179

上限 =

10.置信区间困难

总体标准差为 7。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 7E = 295%

n =

11.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：7 名学生，平均分 34.5，标准差 7.5。第 2 组：10 名学生，平均分 26.7，标准差 9.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 7x̄₁ = 34.5s₁ = 7.5n₂ = 10x̄₂ = 26.7s₂ = 9.5

t =

12.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 12。求最小样本量 n。

σ = 12E = 190%

n =

13.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4.5, 56)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4.5, 56)

e =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1002 × 2

χ² =

16.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2403 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: C · 卡方独立性检验

为什么是这个答案

卡方检验比较列联表中的观察频数与期望频数，以检验两个分类变量是否相关联。

答案

C · 卡方独立性检验

2.心理学研究方法

答案: C · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果

为什么是这个答案

随机分配平衡了各条件间的个体差异，支持因果结论；随机抽样则关系到向总体的推广。

答案

C · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果

3.描述统计

答案: s = 15.02

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 310/7 = 44.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = 11.71² + (−15.29)² + 13.71² + (−2.286)² + (−23.29)² + 15.71² + (−0.2857)² = 1353

标准差

s = √(1353/6) = 15.02

答案

s = 15.02

4.描述统计

答案: z = −1.2

标准化

z = (50.4 − 60)/8 = −1.2

答案

z = −1.2

5.概率

答案: Var(X) = 2.25

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.35 + 2·0.25 + 3·0.15 + 4·0.05 + 5·0.2 = 2.5

平方的均值

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.25 + 9·0.15 + 16·0.05 + 25·0.2 = 8.5

方差

Var(X) = 8.5 − 2.5² = 2.25

答案

Var(X) = 2.25

6.概率

答案: σ_Y = 16.12

X 的离散程度

μ = 2, Var(X) = 2.6, σ_X = 1.612

线性变换

σ_Y = |10|·1.612 = 16.12

答案

σ_Y = 16.12

均值确实会改变：E(Y) = 10·2 + 20 = 40。

7.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (111.4 − 105)/6.403 = 1

上尾

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

8.正态分布

答案: x = 253.4 g

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

换算回 x

x = 250 + 0.6745·5 = 253.37 g

答案

x = 253.37 g

9.置信区间

答案: 上限 = 80.22

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 12, t = 2.179

误差范围

E = 2.179·4.5/√13 = 2.72

区间

77.5 ± 2.72 → [74.78, 80.22]

答案

上限 = 80.22

10.置信区间

答案: n = 48

解出 n

n = (1.96·7/2)² = 47.06

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 48

答案

n = 48

11.假设检验与置信区间

答案: t = 1.808

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (6·7.5² + 9·9.5²)/15 = 76.65

s_p = 8.755

标准误

SE = 8.755·√(1/7 + 1/10) = 4.315

检验统计量

t = (34.5 − 26.7)/4.315 = 1.808

答案

t = 1.808

df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

12.假设检验与置信区间

答案: n = 390

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.645·12/1)² = 389.7

向上取整

n = 390

答案

n = 390

13.线性回归与相关

答案: r² = 0.9801

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 435/6 = 72.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 477.5

决定系数

r² = 90.5²/(17.5·477.5) = 0.9801

答案

r² = 0.9801

y 的变异中约有 98.01% 可由该直线解释。

14.线性回归与相关

答案: e = 3.95

均值

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 248/5 = 49.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 49

回归直线

b = 49/10 = 4.9

a = 49.6 − 4.9·4 = 30

ŷ = 30 + 4.9·x

预测值

ŷ = 30 + 4.9·4.5 = 52.05

残差

e = 56 − 52.05 = 3.95

答案

e = 3.95

该点位于直线上方。

15.卡方检验

答案: χ² = 0.7326

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

男性: 40·35/100 = 14, 40·65/100 = 26

女性: 60·35/100 = 21, 60·65/100 = 39

卡方统计量

χ² = (16 − 14)²/14 + (24 − 26)²/26 + (19 − 21)²/21 + (41 − 39)²/39

χ² = 0.7326

答案

χ² = 0.7326

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ² = 6.222

期望频数

生产线 1: 30, 70

生产线 2: 24, 56

生产线 3: 18, 42

卡方统计量

χ² = (23 − 30)²/30 + (77 − 70)²/70 + (32 − 24)²/24 + (48 − 56)²/56 + (17 − 18)²/18 + (43 − 42)²/42

χ² = 6.222

决策

df = 2, χ²_crit = 9.210

6.222 < 9.210

答案

χ² = 6.222

χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。

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