描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在正态分布中，大约百分之多少的分数位于平均数上下一个标准差之内？
- A50%
- B68%
- C99.7%
- D95%
2.心理学研究方法困难
运动能减轻抑郁，其原因是运动改善了睡眠，而睡眠改善又降低了抑郁。睡眠最好描述为：
- A无关变量
- B控制变量
- C中介变量
- D调节变量
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：54, 39, 54, 40, 11。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。求成绩 62.5 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 10x = 62.5
z =
5.概率中等
从 8 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 8k = 4
N =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.2 赢得 €6，以概率 0.05 赢得 €60；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €3€6: p = 0.2€60: p = 0.05
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8415。求 z，保留两位小数。
A = 0.8415
z =
8.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分20%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 8 个个体的样本，均值为 101.5，标准差 s = 1.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 8x̄ = 101.5s = 1.599%t(7) = 3.499
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 8。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 8E = 0.599%
n =
11.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：16 名学生，平均分 102.5，标准差 10。第 2 组：5 名学生，平均分 116.9，标准差 6.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 16x̄₁ = 102.5s₁ = 10n₂ = 5x̄₂ = 116.9s₂ = 6.5
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 4。求最小样本量 n。
σ = 4E = 190%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 25Σy = 334Σx² = 165Σy² = 23060Σxy = 1840
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (4.5, 50)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(4.5, 50)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“夜班，轻微”的期望频数 E。
行合计 = 86列合计 = 35N = 157
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 5 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 5
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 68%
为什么是这个答案
约 68% 的分数落在 ±1 SD 之内，约 95% 落在 ±2 SD 之内，约 99.7% 落在 ±3 SD 之内。
答案
B · 68%
2.心理学研究方法
答案: C · 中介变量
为什么是这个答案
中介变量位于预测变量和结果之间的因果路径上，解释效应是如何或为什么发生的。
答案
C · 中介变量
3.描述统计
答案: s = 17.56
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 198/5 = 39.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 14.4² + (−0.6)² + 14.4² + 0.4² + (−28.6)² = 1233
标准差
s = √(1233/4) = 17.56
答案
s = 17.56
4.描述统计
答案: z = 1.25
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (62.5 − 50)/10 = 1.25
答案
z = 1.25
5.概率
答案: N = 70
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70
答案
N = 70
6.概率
答案: E(G) = 1.2 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 3 (p = 0.2), 57 (p = 0.05), −3 (p = 0.75)
期望值
E(G) = 3·0.2 + 57·0.05 − 3·0.75 = 1.2 €
答案
E(G) = 1.2 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: z = 1.41
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.8415)/2 = 0.9207
反向查 z 表
在表中找到 0.9207，读出 z。
z = 1.41
答案
z = 1.41
8.正态分布
答案: x = 56.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.2
由表得到的 z
z ≈ −0.84
回到原来的单位
x = 65 − 0.84·10 = 56.6 分
答案
x = 56.6 分
9.置信区间
答案: 上限 = 103.4
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 7, t = 3.499
误差范围
E = 3.499·1.5/√8 = 1.856
区间
101.5 ± 1.856 → [99.64, 103.4]
答案
上限 = 103.4
10.置信区间
答案: n = 1699
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·8/0.5)² = 1699
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1699
答案
n = 1699
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.999
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (15·10² + 4·6.5²)/19 = 87.84
sp = 9.372
标准误
SE = 9.372·√(1/16 + 1/5) = 4.802
检验统计量
t = (102.5 − 116.9)/4.802 = −2.999
答案
t = −2.999
df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 44
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·4/1)² = 43.3
向上取整
n = 44
答案
n = 44
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9823
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1840 − 25·334/5 = 170
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 23060 − 334²/5 = 748.8
相关系数
r = 170/√(40·748.8) = 0.9823
答案
r = 0.9823
14.线性回归与相关
答案: e = −1.5
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 309/6 = 51.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 14.5
回归直线
b = 14.5/17.5 = 0.8286
a = 51.5 − 0.8286·4.5 = 47.77
ŷ = 47.77 + 0.8286·x
预测值
ŷ = 47.77 + 0.8286·4.5 = 51.5
残差
e = 50 − 51.5 = −1.5
答案
e = −1.5
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: E = 19.17
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 86·35/157 = 19.17
答案
E = 19.17
16.卡方检验
答案: df = 3
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 5 − 1 − 1 = 3
答案
df = 3
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