描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名研究者向所有学生发放问卷，然后请受访者招募同样使用某款小众睡眠应用的朋友。第二步使用的是哪种抽样方法？
- A滚雪球抽样
- B随机抽样
- C系统抽样
- D分层抽样
2.心理学研究方法困难
在定性研究中，反身性（reflexivity）是指研究者：
- A重复研究以检验信度
- B反思自己的背景和假设可能如何影响分析
- C把主题转换为数值数据
- D使用随机样本以消除偏差
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：15, 44, 42, 40, 15。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值高于 80 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 8x = 80
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.1, 0.15, 0.2, 0.3
Var(X) =
6.概率困难
测试 8 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 8p = 0.4
P =
7.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 32.3 和 37.1 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 32.3x2 = 37.1
P =
8.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.置信区间中等
一个包含 7 个个体的样本，均值为 29.5，标准差 s = 1。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 7x̄ = 29.5s = 190%t(6) = 1.943
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 33。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 33E = 190%
n =
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 120 mm，该生产线的已知标准差为 17 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 128.4 mm，已知标准差为 9 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 30x̄₁ = 120 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 100x̄₂ = 128.4 mmσ₂ = 9 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 12。求最小样本量 n。
σ = 12E = 1.599%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 94Σx² = 364Σy² = 1774Σxy = 798
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 4.5 时的 ŷ。
n = 5x = 4.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，严重”的期望频数 E。
行合计 = 83列合计 = 37N = 160
E =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2403 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 滚雪球抽样
为什么是这个答案
滚雪球抽样适用于难以接触的群体，但样本很可能具有相似特征，不具代表性。
答案
A · 滚雪球抽样
2.心理学研究方法
答案: B · 反思自己的背景和假设可能如何影响分析
为什么是这个答案
反身性承认研究者对数据收集和解释的影响，是定性研究的一项关键质量标准。
答案
B · 反思自己的背景和假设可能如何影响分析
3.描述统计
答案: s = 14.86
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 156/5 = 31.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−16.2)² + 12.8² + 10.8² + 8.8² + (−16.2)² = 882.8
标准差
s = √(882.8/4) = 14.86
答案
s = 14.86
4.描述统计
答案: P = 0.1056
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.25
标准正态分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
答案
P = 0.1056
5.概率
答案: Var(X) = 2.46
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 1·0.1 + 2·0.15 + 3·0.2 + 4·0.3 = 2.2
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 1·0.1 + 4·0.15 + 9·0.2 + 16·0.3 = 7.3
方差
Var(X) = 7.3 − 2.2² = 2.46
答案
Var(X) = 2.46
6.概率
答案: P = 0.1064
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.68 = 0.0168
P(X = 1) = 8·0.4·0.67 = 0.08958
相加
P = 0.0168 + 0.08958 = 0.1064
答案
P = 0.1064
7.正态分布
答案: P = 0.2824
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (32.3 − 32)/6 = 0.05
z₂ = (37.1 − 32)/6 = 0.85
中间面积
P = Φ(0.85) − Φ(0.05) = 0.8023 − 0.5199 = 0.2824
答案
P = 0.2824
8.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
9.置信区间
答案: 上限 = 30.23
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 6, t = 1.943
误差范围
E = 1.943·1/√7 = 0.7344
区间
29.5 ± 0.7344 → [28.77, 30.23]
答案
上限 = 30.23
10.置信区间
答案: n = 2947
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·33/1)² = 2947
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 2947
答案
n = 2947
11.假设检验与置信区间
答案: z = −2.599
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(17²/30 + 9²/100) = √10.44 = 3.232
检验统计量
z = (120 − 128.4)/3.232 = −2.599
答案
z = −2.599
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 425
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·12/1.5)² = 424.7
向上取整
n = 425
答案
n = 425
13.线性回归与相关
答案: r = 0.964
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 798 − 42·94/6 = 140
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1774 − 94²/6 = 301.3
相关系数
r = 140/√(70·301.3) = 0.964
答案
r = 0.964
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 47.5
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 209/5 = 41.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38
回归直线
b = 38/10 = 3.8
a = 41.8 − 3.8·3 = 30.4
ŷ = 30.4 + 3.8·x
预测
ŷ = 30.4 + 3.8·4.5 = 47.5
答案
ŷ = 47.5
15.卡方检验
答案: E = 19.19
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 83·37/160 = 19.19
答案
E = 19.19
16.卡方检验
答案: χ² = 0.8056
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 18, 42
生产线 2: 24, 56
生产线 3: 30, 70
卡方统计量
χ² = (19 − 18)²/18 + (41 − 42)²/42 + (21 − 24)²/24 + (59 − 56)²/56 + (32 − 30)²/30 + (68 − 70)²/70
χ² = 0.8056
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
0.8056 < 5.991
答案
χ² = 0.8056
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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