描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名研究者研究性别对记忆得分的影响。为什么这是准实验而不是真实验？
- A自变量是预先存在的特征，因此无法把参与者随机分配到各水平
- B研究在实验室中进行
- C没有测量因变量
- D只有两个条件，而真实验至少需要自变量有三个水平
2.心理学研究方法困难
一名研究者想证明一个新的焦虑量表测量的东西不同于抑郁。与抑郁量表的低相关会支持：
- A区分效度
- B预测效度
- C表面效度
- D聚合效度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：30, 20, 39, 23, 41。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。求成绩 130 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 20x = 130
z =
5.概率中等
从 13 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 13k = 2
N =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.15, 0.25, 0.35Y = 0.5X + 4
σY =
7.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 10 个的总质量超过 121.3 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 10> 121.3 kg
P =
8.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 95%
x = g
9.置信区间中等
一个包含 10 个个体的样本，均值为 108，标准差 s = 10。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 10x̄ = 108s = 1090%t(9) = 1.833
E =
10.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.2 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p ≈ 0.2E = 0.02595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 70.87，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 70.87s = 12n = 81
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 2.5 个单位的偏移。标准差为 26。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 80%δ = 2.5σ = 26zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (21, 112)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(21, 112)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，高”的期望频数 E。
行合计 = 66列合计 = 40N = 171
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 6 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 6
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 自变量是预先存在的特征，因此无法把参与者随机分配到各水平
为什么是这个答案
在准实验中，自变量是人与人之间自然存在的差异。没有随机分配，各组之间的其他差异就可能混淆结果。
答案
A · 自变量是预先存在的特征，因此无法把参与者随机分配到各水平
2.心理学研究方法
答案: A · 区分效度
为什么是这个答案
当一个测量与其他结构的测量相关较弱时，就显示出区分（发散）效度。聚合效度则是与同一结构的测量高度相关。
答案
A · 区分效度
3.描述统计
答案: s = 9.343
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 153/5 = 30.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−0.6)² + (−10.6)² + 8.4² + (−7.6)² + 10.4² = 349.2
标准差
s = √(349.2/4) = 9.343
答案
s = 9.343
4.描述统计
答案: z = −2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (130 − 170)/20 = −2
答案
z = −2
5.概率
答案: N = 78
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78
答案
N = 78
6.概率
答案: σY = 1.187
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.4, Var(X) = 5.64, σX = 2.375
线性变换
σY = |0.5|·2.375 = 1.187
答案
σY = 1.187
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·3.4 + 4 = 5.7。
7.正态分布
答案: P = 0.305
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 120 kg, σT = 0.8·√10 = 2.53 kg
标准化
z = (121.3 − 120)/2.53 = 0.51
概率
P = 1 − Φ(0.51) = 0.305
答案
P = 0.305
8.正态分布
答案: x = 258.2 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 250 + 1.645·5 = 258.22 g
答案
x = 258.22 g
9.置信区间
答案: E = 5.796
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 9, t = 1.833
误差范围
E = 1.833·10/√10 = 5.796
答案
E = 5.796
10.置信区间
答案: n = 984
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.2·0.8/0.025² = 983.4
向上取整
n = 984
答案
n = 984
11.假设检验与置信区间
答案: t = −3.097
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333
检验统计量
t = (70.87 − 75)/1.333 = −3.097
答案
t = −3.097
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 669
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 0.842)·26/2.5)² = 669
向上取整
n = 669
答案
n = 669
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9814
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 483/5 = 96.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 483
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2691
相关系数
r = 483/√(90·2691) = 0.9814
答案
r = 0.9814
14.线性回归与相关
答案: e = −3.1
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 549/5 = 109.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212
回归直线
b = 212/40 = 5.3
a = 109.8 − 5.3·20 = 3.8
ŷ = 3.8 + 5.3·x
预测值
ŷ = 3.8 + 5.3·21 = 115.1
残差
e = 112 − 115.1 = −3.1
答案
e = −3.1
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: E = 15.44
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 66·40/171 = 15.44
答案
E = 15.44
16.卡方检验
答案: df = 5
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 = 5
答案
df = 5
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