描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
需求特征是：
- A伦理委员会在研究开始之前提出的正式要求
- B使参与者猜到研究目的并改变行为的线索
- C统计检验的前提条件
- D样本的特征
2.心理学研究方法困难
运动能减轻抑郁，其原因是运动改善了睡眠，而睡眠改善又降低了抑郁。睡眠最好描述为：
- A调节变量
- B中介变量
- C控制变量
- D无关变量
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：50, 18, 26, 47, 56。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。数值高于 462.5 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 25x = 462.5
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
Var(X) =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.2, 0.35, 0.1, 0.15Y = 0.5X + 4
σY =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.7287。求 z，保留两位小数。
A = 0.7287
z =
8.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 40% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
9.置信区间中等
基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 10.7。 如果同一研究改用 72 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 36E₁ = 10.7n₂ = 72
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 20。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 20E = 395%
n =
11.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 100.9，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 100.9s = 12n = 81
t =
12.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 121.7。总体标准差为 10。求均值 90% 置信区间的下限 L。
x̄ = 121.7σ = 10n = 8190%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 4.5 时的 ŷ。
n = 5x = 4.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 6 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 6
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 使参与者猜到研究目的并改变行为的线索
为什么是这个答案
当参与者猜出假设时，可能会做出证实或破坏它的行为，从而威胁效度。欺骗和盲法可以减少这种情况。
答案
B · 使参与者猜到研究目的并改变行为的线索
2.心理学研究方法
答案: B · 中介变量
为什么是这个答案
中介变量位于预测变量和结果之间的因果路径上，解释效应是如何或为什么发生的。
答案
B · 中介变量
3.描述统计
答案: s = 16.46
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 197/5 = 39.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = 10.6² + (−21.4)² + (−13.4)² + 7.6² + 16.6² = 1083
标准差
s = √(1083/4) = 16.46
答案
s = 16.46
4.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
答案
P = 0.9332
5.概率
答案: Var(X) = 0.6475
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55
方差
Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
答案
Var(X) = 0.6475
6.概率
答案: σY = 0.6442
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.8, Var(X) = 1.66, σX = 1.288
线性变换
σY = |0.5|·1.288 = 0.6442
答案
σY = 0.6442
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·1.8 + 4 = 4.9。
7.正态分布
答案: z = 1.1
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.7287)/2 = 0.8643
反向查 z 表
在表中找到 0.8643，读出 z。
z = 1.10
答案
z = 1.10
8.正态分布
答案: x = 179.8 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.6
由表得到的 z
z ≈ 0.25
回到原来的单位
x = 178 + 0.25·7 = 179.8 cm
答案
x = 179.8 cm
9.置信区间
答案: E₂ = 7.566
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(36/72) = 0.7071
新的误差范围
E₂ = 10.7·0.7071 = 7.566
答案
E₂ = 7.566
10.置信区间
答案: n = 171
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·20/3)² = 170.7
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 171
答案
n = 171
11.假设检验与置信区间
答案: t = 0.675
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333
检验统计量
t = (100.9 − 100)/1.333 = 0.675
答案
t = 0.675
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 119.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·10/√81 = 1.828
区间端点
L = 121.7 − 1.828 = 119.9
答案
L = 119.9
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.8989
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 114/5 = 22.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13
Syy = Σ(y − ȳ)² = 18.8
决定系数
r² = −13²/(10·18.8) = 0.8989
答案
r² = 0.8989
y 的变异中约有 89.89% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 59.95
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 290/5 = 58
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39
回归直线
b = 39/10 = 3.9
a = 58 − 3.9·4 = 42.4
ŷ = 42.4 + 3.9·x
预测
ŷ = 42.4 + 3.9·4.5 = 59.95
答案
ŷ = 59.95
15.卡方检验
答案: χ² = 23.74
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 80·78/120 = 52, 80·42/120 = 28
不吸烟者: 40·78/120 = 26, 40·42/120 = 14
卡方统计量
χ² = (64 − 52)²/52 + (16 − 28)²/28 + (14 − 26)²/26 + (26 − 14)²/14
χ² = 23.74
答案
χ² = 23.74
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 − 1 = 4
答案
df = 4
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