描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名学生在一项平均数为 100、标准差为 15 的测验中得了 130 分。z 分数是多少？
- A2.0
- B0.5
- C1.5
- D3.0
2.心理学研究方法困难
一项元分析综合了某种疗法的 40 项研究。为什么其总体效应量仍可能过大？
- A综合多项研究总能消除所有偏差
- B元分析不能纳入随机对照试验
- C元分析得出的效应总是小于其所纳入的单项研究
- D由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：40, 45, 60, 23, 34, 16, 20。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。数值低于 462.5 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 75x = 462.5
P =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 8
P =
6.概率困难
测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.25 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.25
P =
7.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 20 和 43.1 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 20x2 = 43.1
P =
8.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 85% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
9.置信区间中等
基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 5。 如果同一研究改用 72 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 36E₁ = 5n₂ = 72
E₂ =
10.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.2 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.05？
p ≈ 0.2E = 0.0599%
n =
11.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 71.5，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 71.5s = 15n = 36
t =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 23 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 68 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 23n₁ = 150x₂ = 68n₂ = 250
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 304Σx² = 220Σy² = 19122Σxy = 1982
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3 时的 ŷ。
n = 5x = 3
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 6 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
3 × 6
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 2.0
为什么是这个答案
(130 − 100) / 15 = 2。该分数比平均数高两个标准差，高于约 97–98% 的人。
答案
A · 2.0
2.心理学研究方法
答案: D · 由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
为什么是这个答案
如果零结果较少被发表，合并效应就会被夸大。漏斗图和检索未发表数据有助于发现并减少这一问题。
答案
D · 由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
3.描述统计
答案: s = 15.67
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 238/7 = 34
离差平方
Σ(x − x̄)² = 6² + 11² + 26² + (−11)² + 0² + (−18)² + (−14)² = 1474
标准差
s = √(1474/6) = 15.67
答案
s = 15.67
4.描述统计
答案: P = 0.3085
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085
答案
P = 0.3085
5.概率
答案: P = 0.7674
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674
答案
P = 0.7674
6.概率
答案: P = 0.4449
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.757 = 0.1335
P(X = 1) = 7·0.25·0.756 = 0.3115
相加
P = 0.1335 + 0.3115 = 0.4449
答案
P = 0.4449
7.正态分布
答案: P = 0.9451
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (20 − 32)/6 = −2
z₂ = (43.1 − 32)/6 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−2) = 0.9678 − 0.02275 = 0.9451
答案
P = 0.9451
8.正态分布
答案: x = 244.8 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.15
由表得到的 z
z ≈ −1.04
回到原来的单位
x = 250 − 1.04·5 = 244.8 g
答案
x = 244.8 g
9.置信区间
答案: E₂ = 3.536
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(36/72) = 0.7071
新的误差范围
E₂ = 5·0.7071 = 3.536
答案
E₂ = 3.536
10.置信区间
答案: n = 425
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.2·0.8/0.05² = 424.7
向上取整
n = 425
答案
n = 425
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5
检验统计量
t = (71.5 − 75)/2.5 = −1.4
答案
t = −1.4
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: z = −2.741
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 23/150 = 0.1533
p̂₂ = 68/250 = 0.272
p̂ = 91/400 = 0.2275
H₀ 下的标准误
SE = √(0.2275·0.7725·(1/150 + 1/250)) = 0.0433
检验统计量
z = (0.1533 − 0.272)/0.0433 = −2.741
答案
z = −2.741
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9884
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1982 − 30·304/5 = 158
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 19122 − 304²/5 = 638.8
相关系数
r = 158/√(40·638.8) = 0.9884
答案
r = 0.9884
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 13.9
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 134/5 = 26.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
回归直线
b = 172/40 = 4.3
a = 26.8 − 4.3·6 = 1
ŷ = 1 + 4.3·x
预测
ŷ = 1 + 4.3·3 = 13.9
答案
ŷ = 13.9
15.卡方检验
答案: χ² = 1.285
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 60·27/180 = 9, 60·72/180 = 24, 60·81/180 = 27
农村: 120·27/180 = 18, 120·72/180 = 48, 120·81/180 = 54
卡方统计量
χ² = (7 − 9)²/9 + (27 − 24)²/24 + (26 − 27)²/27 + (20 − 18)²/18 + (45 − 48)²/48 + (55 − 54)²/54
χ² = 1.285
答案
χ² = 1.285
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 10
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10
答案
df = 10
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