描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
访谈中的开放式问题收集的是哪类数据？
- A质性数据
- B比率数据
- C等距数据
- D只有称名量化数据
2.心理学研究方法困难
一名研究者发现冰淇淋销量与溺水死亡人数呈正相关。哪种解释最合理？
- A溺水增加了冰淇淋销量
- B冰淇淋导致溺水
- C这个相关一定是计算错误
- D炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：56, 30, 60, 27, 60。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值高于 79 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 15x = 79
P =
5.概率中等
袋中有 4 个红球和 5 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
4 / 5
P =
6.概率困难
测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.7
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.2886。求 z，保留两位小数。
A = 0.2886
z =
8.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 75%
x = g
9.置信区间中等
基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 11.7。 基于 225 个观测值的 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 25E₁ = 11.799%n₂ = 225
E₂ =
10.置信区间困难
25 根机加工轴的直径样本标准差为 1.4 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。
n = 25s = 1.4 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
11.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 197.5，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 197.5s = 4n = 25
t =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 70 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 74 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 70n₁ = 200x₂ = 74n₂ = 150
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 22 时的 ŷ。
n = 6x = 22
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2403 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 质性数据
为什么是这个答案
开放式问题产生丰富的质性数据，比封闭式问题的回答更难进行统计分析。
答案
A · 质性数据
2.心理学研究方法
答案: D · 炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
为什么是这个答案
第三个变量——气温——导致了两者。这说明了为什么仅凭相关不能证明因果关系。
答案
D · 炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
3.描述统计
答案: s = 16.64
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 233/5 = 46.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 9.4² + (−16.6)² + 13.4² + (−19.6)² + 13.4² = 1107
标准差
s = √(1107/4) = 16.64
答案
s = 16.64
4.描述统计
答案: P = 0.2743
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
答案
P = 0.2743
5.概率
答案: P = 0.1667
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0.1667
答案
P = 0.1667
6.概率
答案: P = 4.724 × 10⁻⁵
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.311 = 1.771 × 10⁻⁶
P(X = 1) = 11·0.7·0.310 = 4.547 × 10⁻⁵
相加
P = 1.771 × 10⁻⁶ + 4.547 × 10⁻⁵ = 4.724 × 10⁻⁵
答案
P = 4.724 × 10⁻⁵
7.正态分布
答案: z = 0.37
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.2886)/2 = 0.6443
反向查 z 表
在表中找到 0.6443，读出 z。
z = 0.37
答案
z = 0.37
8.正态分布
答案: x = 253.4 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 250 + 0.6745·5 = 253.37 g
答案
x = 253.37 g
9.置信区间
答案: E₂ = 6.107
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(25/225) = 0.522
新的误差范围
E₂ = 11.7·0.522 = 6.107
答案
E₂ = 6.107
10.置信区间
答案: σ = 1.948 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 24·1.4² = 47.04
σ² 的限值
47.04/39.364 = 1.195
47.04/12.401 = 3.793
σ 的限值
σ = √3.793 = 1.948 µm
答案
σ = 1.948 µm
σ 的 95% 区间：[1.093, 1.948] µm。
11.假设检验与置信区间
答案: t = −3.125
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8
检验统计量
t = (197.5 − 200)/0.8 = −3.125
答案
t = −3.125
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: z = −2.697
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 70/200 = 0.35
p̂₂ = 74/150 = 0.4933
p̂ = 144/350 = 0.4114
H₀ 下的标准误
SE = √(0.4114·0.5886·(1/200 + 1/150)) = 0.05315
检验统计量
z = (0.35 − 0.4933)/0.05315 = −2.697
答案
z = −2.697
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9957
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 397/6 = 66.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 151.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1323
相关系数
r = 151.5/√(17.5·1323) = 0.9957
答案
r = 0.9957
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 90.33
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 542/6 = 90.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 376
回归直线
b = 376/70 = 5.371
a = 90.33 − 5.371·22 = −27.84
ŷ = −27.84 + 5.371·x
预测
ŷ = −27.84 + 5.371·22 = 90.33
答案
ŷ = 90.33
15.卡方检验
答案: χ² = 28.48
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 120·54/180 = 36, 120·54/180 = 36, 120·72/180 = 48
农村: 60·54/180 = 18, 60·54/180 = 18, 60·72/180 = 24
卡方统计量
χ² = (34 − 36)²/36 + (23 − 36)²/36 + (63 − 48)²/48 + (20 − 18)²/18 + (31 − 18)²/18 + (9 − 24)²/24
χ² = 28.48
答案
χ² = 28.48
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 32.81
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
工厂 A: 56, 24
工厂 B: 70, 30
工厂 C: 42, 18
卡方统计量
χ² = (53 − 56)²/56 + (27 − 24)²/24 + (56 − 70)²/70 + (44 − 30)²/30 + (59 − 42)²/42 + (1 − 18)²/18
χ² = 32.81
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
32.81 > 5.991
答案
χ² = 32.81
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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