描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在重复测量设计中，可以用什么方法控制顺序效应？
- A单盲程序
- B平衡（对抗平衡）
- C只用更大的样本
- D随机抽样
2.心理学研究方法困难
一项研究报告了两个人数相等的独立组的 t(28) = 2.50，p = .018。共有多少名参与者？
- A30
- B29
- C56
- D28
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：46, 20, 23, 33, 47, 54, 33。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。求成绩 487.5 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 25x = 487.5
z =
5.概率中等
从 14 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 14k = 4
N =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 2X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.15, 0.25, 0.3Y = 2X + 10
σY =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9713。求 z，保留两位小数。
A = 0.9713
z =
8.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.置信区间中等
一个包含 7 个个体的样本，均值为 43，标准差 s = 18。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 7x̄ = 43s = 1890%t(6) = 1.943
下限 =
10.置信区间困难
11 根机加工轴的直径样本标准差为 4.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 10 时，χ² 分布有 2.5% 位于 3.247 以下，2.5% 位于 20.483 以上。
n = 11s = 4.5 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
11.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 118.7，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 118.7s = 5n = 100
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 2.5 个单位的偏移。标准差为 14。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 80%δ = 2.5σ = 14zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 62Σx² = 220Σy² = 900Σxy = 444
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 22？
n = 5ŷ = 22
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2402 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 4 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 4
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 平衡（对抗平衡）
为什么是这个答案
平衡法把练习效应和疲劳效应均匀地分配到各个条件中。
答案
B · 平衡（对抗平衡）
2.心理学研究方法
答案: A · 30
为什么是这个答案
自由度为 28 意味着有 28 + 2 = 30 名参与者，每组 15 人。
答案
A · 30
3.描述统计
答案: s = 12.82
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 256/7 = 36.57
离差平方
Σ(x − x̄)² = 9.429² + (−16.57)² + (−13.57)² + (−3.571)² + 10.43² + 17.43² + (−3.571)² = 985.7
标准差
s = √(985.7/6) = 12.82
答案
s = 12.82
4.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (487.5 − 500)/25 = −0.5
答案
z = −0.5
5.概率
答案: N = 1001
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001
答案
N = 1001
6.概率
答案: σY = 24.06
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 25.5, Var(X) = 144.8, σX = 12.03
线性变换
σY = |2|·12.03 = 24.06
答案
σY = 24.06
均值确实会改变：E(Y) = 2·25.5 + 10 = 61。
7.正态分布
答案: z = −1.9
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9713 = 0.0287
反向查 z 表
在表中找到 0.0287，读出 z。
z = −1.90
答案
z = −1.90
8.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
9.置信区间
答案: 下限 = 29.78
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 6, t = 1.943
误差范围
E = 1.943·18/√7 = 13.22
区间
43 ± 13.22 → [29.78, 56.22]
答案
下限 = 29.78
10.置信区间
答案: σ = 3.144 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 10·4.5² = 202.5
σ² 的限值
202.5/20.483 = 9.886
202.5/3.247 = 62.37
σ 的限值
σ = √9.886 = 3.144 µm
答案
σ = 3.144 µm
σ 的 95% 区间：[3.144, 7.897] µm。
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5
检验统计量
t = (118.7 − 120)/0.5 = −2.6
答案
t = −2.6
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 315
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 0.842)·14/2.5)² = 314.7
向上取整
n = 315
答案
n = 315
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9939
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 444 − 30·62/5 = 72
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 900 − 62²/5 = 131.2
相关系数
r = 72/√(40·131.2) = 0.9939
答案
r = 0.9939
14.线性回归与相关
答案: x = 1.629
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 86/5 = 17.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
回归直线
b = −35/10 = −3.5
a = 17.2 − (−3.5)·3 = 27.7
ŷ = 27.7 − 3.5·x
解出 x
x = (22 − 27.7)/(−3.5) = 1.629
答案
x = 1.629
15.卡方检验
答案: χ² = 2.606
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 120·48/240 = 24, 120·72/240 = 36, 120·120/240 = 60
夜班: 120·48/240 = 24, 120·72/240 = 36, 120·120/240 = 60
卡方统计量
χ² = (29 − 24)²/24 + (34 − 36)²/36 + (57 − 60)²/60 + (19 − 24)²/24 + (38 − 36)²/36 + (63 − 60)²/60
χ² = 2.606
答案
χ² = 2.606
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 2
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 − 1 = 2
答案
df = 2
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